加强数学符号语言教学 提升学生解题能力

梁亮平 西藏林芝市墨脱县中学 吴诚 西藏林芝市八一中学

数学符号语言的简洁性、精确性可有效简化思考及推理过程，快速地理解和表达问题本质，并使得数学公式和定理更容易被记忆、识别和回忆。但因目前西藏中学师生对数学符号语言的重视度不够，致使很多学生无法准确理解数学问题，影响了学生解题能力的培养和发展。通过加强数学符号语言教学，提升学生的解题能力，值得每位数学教师探究。

一、西藏中学数学符号语言教学存在的主要问题

通过对西藏7 个地市13 所不同学校实施数学符号语言的意识问卷调查（含数学符号语言学与教的态度问卷及数学符号语言水平测试问卷，数学符号问卷分为初中部分与高中部分）、课堂观察、访谈等，发现目前西藏中学在数学符号语言教学中存在如下较为突出的问题：

（一）学生缺乏对数学符号语言的建构体验

在与教师、学生进行沟通时发现，很多教师自认为用符号语言表达数学是很自然的事，不重视引导学生体验用数学符号表达数量关系这一过程，导致学生对为什么要这样表述十分不解，进而在解题中也无法判断应用什么样的数学符号语言来进行题目分析与解答。

（二）学生对数学符号语言理解层次较低

在课堂观察中发现，43.2%的学生处于数学符号语言的工具性理解阶段，不能达到关系性理解阶段；大部分学生因处在工具性理解的低层，导致容易错误地联系知识的“单元结构”而无视运算规则及顺序。例如对2x,x2,x2,log2x这几式子中“2”所表达的含义，在符号语言的测试问卷中出现的错误率极高。

（三）学生不能正确地进行文字语言、数学语言、图形语言之间的转换

数学来源于实际生活，学生需要将描述生活情景的文字语言转化为具体的数学语言，用数学思维将其抽象为代数式、方程、函数等代数的形式；空间问题则转化为由基础元素构成的几何问题。由于学生缺乏对数学符号意义的理解，缺少对数学符号与相应应用情境的匹配经历，较少在主观上进行数学符号含义的建构，不能发现数学符号隐含的意义，因而大部分学生不能正确地完成文字语言、数学语言、图形语言之间的转换，导致无法有效分析问题。

二、原因分析及其对学生解题结果的影响

（一）忽略了数学符号语言模型的建构

1.不重视从实际生活到数学的抽象

数学来源于生活，是对实际生活问题的数学抽象。教材基本都按此逻辑进行内容编写，但很多教师却认为这一过程对学生作用不大，或认为学生理解能力低，无法理解而选择放弃或一带而过，这恰好就是放弃了对学生符号意识的培养，直接导致很多学生无法有效将实际情景与数学模型进行正确匹配或快速将实际情景转换成符号语言，以至学生失去解题方向，最终连一个最简单的因果关系也不能有效书写表达。例如：初中代数部分从正数与负数的认识开始，而正数与负数来源于实际生活，是对生活中相反意义的量的符号表述。在随堂听课的过程中，发现教师对相反意义的量与正负号的匹配教学不够重视，没有让学生进行相反意义量的举例抽象，然后再回归数学表达，导致学生未能从根本上实现数学与生活的关联，未能了解数学本质。

2.忽略数学语言表达教学的循序渐进原则

现行人教版数学教材按螺旋上升的方式编排知识内容，对于数学符号语言的发展也是遵循从单一到综合的模式。教师在教学过程中对这个“体系”的忽略，使学生不能体验到数学符号的发展与整合，不能厘清数学符号之间的联系，极易造成学生数学符号语言混乱。这也是学生常出现“知道怎么说，不知如何表达”现象的原因之一。如在学习“数轴”时，必须清楚告诉学生：一个点是用一个大写字母表达，而其表示的数则用一个小写字母表示。两个不同的数不会重合，存在“差距”，这便是两点间的距离，即两点之间构成线段的长度；从“形”上则表示为形如“AB”或“BA”，其结果则是一个“数”。这样在学习第四章“线段的等分点”内容时，学生才能正确理解图形语言以及数学语言，如图1所示。

图1 线段中点、三等分点、四等分点表示方法

3.漠视学生在数学符号语言学习上存在的畏难心理

学生对数学符号意义的理解是有效记忆数学符号的基础，无意义的记忆让学生觉得数学枯燥，且记忆相对较为困难。漠视学生在数学符号语言上的学习困难，不给或少给学生自我构建的机会，让学生渐渐放弃自我构建，形成恶性循环。导致学生在面对数学题时根本无法理解题意，或无法表达，导致放弃解答。

（二）没有进行数学符号在不同情境下的不同含义对比与归纳

数学符号在不同的数学情景中会有不同的含义，在不同的学科中既相通又有异，如果不进行有效对比与归纳，学生就不能在不同情境下正确反馈相同符号的含义，导致理解混乱而对解题过程理解困难。如“+”既可以表示两个数的和（运算符号），也可以表示一个数的性质，在“计算”中两种含义都可以，但同一道题目中需要统一。“（）”可以表示一个整体的概念，也可以为优先的运算。

（三）不重视学生对“单元结构”进行自主建构

在中学阶段，学生需要从用不同的数字表示数量关系过渡到用字母表示数量关系的“单元结构”认知阶段。若不重视“单元结构”的认知建构，学生将不能准确理解、掌握其含义，就不能正确地进行转换、运算、模型构建等数学问题的解决。

（四）教师自身对数学符号语言的了解欠全面

在具体的教学过程中，不少教师非常重视学生对知识的获得感，重点关注学生是否收获了必要的数学结论及对结论的运用；对知识的产生过程缺乏重视。因为对相关的数学符号来龙去脉没有做全面了解，教师对相关的数学符号语言也就没办法做深入介绍与理解，对数学符号的教学仅仅停留在浅表性的认识教学，未能对数学符号语言特征进行深入的分析，更无法将数学符号产生的历史进行渗透。这导致学生孤立地学习数学符号，新的符号语言未能与前面学习过的符号语言进行关联，无法有效建立数学知识之间的关系图。

三、解决存在问题的教学策略

（一）加强对教材内容中符号语言的分析研究

1.注重抽象过程举例，让学生更好地感悟符号的数学功能

乘方是在乘法的基础上将因数特殊化的结果。比如10×10×10×10×10×10 这样的运算，可以简洁写成106；106表示6 个10 相乘，同时也表示了这个运算的结果；将具体的数字抽象为字母，即an，命名为幂。这个结构中的底数在后续的学习中会由数字变为字母，字母的乘积，后续还会变为代数式。例如：(ab)n，(a+b)2，(a+b)3等。教学中要给学生梳理好发展逻辑，让符号有意义地发展，让学生更好地感悟符号的数学功能。

2.注重符号与文字和图形的匹配，培养和发展学生的符号意识

在进行几何内容学习时，为了体现结论的一般性，几何结论都是以文字语言的方式进行表达；为了增强结论的几何直观，让学生能通过数学符号语言表达相关结论，教师应结合结论产生的具体基本几何图形，让学生用数学符号语言将命题进行表述，培养和发展学生的符号意识。例如教师在谈到三角形ABC时，要在头脑中反映出ΔABC 的几何图形，也可画出图形，且知道用数学符号语言如何表示。又如在计算(3x+2)(3x-2)时，要与符号化的平方差公式(a+b)(a-b)进行对比匹配，3x对应公式中的a，2对应公式中的b；辅以板书展示，让学生能找准对应关系；尤其是在一些需要进行化归的复杂运算，有效的匹配是正确运算的基础。

3.注重教材中数学符号语言的呈现逻辑，让学生感觉有规律可循

人教版初中数学教材将数学知识划为几个模块，每个模块都是小学阶段知识的延伸，教师要明白教材中教学内容呈现的逻辑顺序，即学习目标中研究对象的呈现逻辑顺序。同时也要使让学生清楚学习顺序，这样才能让数学符号语言也按顺序发展。例如：人教版八年级下册的“一次函数”内容，教材从生活开始引导对函数关系式的广泛认识，归纳呈现函数的定义及表达方式，之后特殊化认识最简单结构的正比例函数y=kx（k 为常数且k ≠0）；再增加简单加法运算而得一次函数y=kx+b（k 为常数且k ≠0）。这种通过运算变化呈现知识逻辑的方式，在教学中务必步步向学生揭示，方能使学生清楚感悟到数学符号语言的变化逻辑。再如在学习树状图法求等可能随机事件概率时，教材先有树状图，再详细列举每个等可能事件，最后才得出某一事件的概率。教学中只有按此顺序进行教学，学生才能真正懂得数学符号语言间的转换，落实培养和发展学生解决问题的能力任务。

4.重视让学生充分感悟模型观念

要引导学生关注数学符号的模型以及数学符号的隐含知识点。例如，在见到“分式的值为0”时，必须联想到“分子等于0且分母不等于0”这样一个“分式的值为0”的问题解决数学模型，然后再将具体分式分子分母与相关数学表达式进行匹配解决问题。在根据题目给定的已知条件，运用性质定理进行推理，成功解决问题后，特别要让学生明确利用来解决问题的模型建立需要的“桥”，明确解题关键。

例如：2021 年西藏自治区初中学业水平考试第8题：如图（2），ΔBCD 内接于⊙O，∠D=70°，OA□BC交⊙O于A点，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）

图（2）

A、40° B、55° C、70° D、110°

这道题目中的“桥”为圆心角，通过圆心角∠AOC将已知圆周角∠D 及所求的∠OAC 建立联系。问题解决后，需要让学生总结解决问题的关键点：同弧（弦）所对的圆周角与圆心角的关系最为密切，在解决同类问题时则需要提醒自己思考“桥”是什么，必要时进行合理构造。

最后还要关注相关数学模型的螺旋发展及处理方法。如七年级下册第101页习题8.3复习巩固2题：A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需要13h。

在解题的过程中可以让学生先分析问题类型，学生通过自己在迎风跑步和顺风跑步时的速度以及无风跑步速度进行类比确定相关速度，再结合基本数量关系“路程=速度×时间”列出方程组：

在解方程组时，可以按照常规的解法步骤进行解方程进行板书；解完之后问学生，有没有什么更为简洁的解法？利用等式的性质将二元一次方程组的中的第一个方程的两边同时除以12.5，第二个方程的两边同时除以13，将二元一次方程组转化为简洁方程组：通过教师对这种由繁到简模型转换的明确，学生就会关注：对于系数复杂的二元一次方程组，应先思考是否可以先化简，从而提升运算准确性。

（二）要全面了解数学符号的历史经纬

除了教师要自主去查找数学符号相关的历史背景，同时也应要求学生自己去了解；通过数学阅读，加深数学符号的建构印象，让学生在数学故事中领悟数学符号，提升学生在数学情境和生活情境中找关联点的能力。例如，勾股定理的发现和证明，就要让学生充分阅读和理解中西方对于勾股定理的证明和发现，加深对定理的理解，提升学生数学文化自信。再如：在分式学习时，与学生分享分式发展史：分式最早出现于古希腊的数学中，被称为“比例”定义，为相同比数之间的关系；到了中世纪，分式进一步发展，阿尔卡齐使用了分数线进行表示，这样学生便可更好理解分数线的意义。

（三）要及时对数学符号的含义进行分析归纳

在数学符号语言教学时，要注重隐含含义的发掘，让学生能进行联想，找出与之相关联的知识点建立图示，和已有的知识结构进行思维的关联。如“ ”既是运算符号也是数量符号：即 4 表示4 的算术平方根，也表示对4 进行开方运算。再比如“（）”是结合符号，表示一个整体，也在运算中也表示运算的等级（有括号的情况下先进行括号的运算），同时也在表示点的坐标时必须要有的表现形式（2，3）。

还要注重厘清数学符号在不同情景中的不同含义，让学生清晰知道什么情景匹配什么含义，避免混乱。如x3+5x-6-4x2按照降幂进行排列时，要跟学生明确是从多项式的角度来进行处理，“+”与“-”均应为性质符号，而不是运算符号，避免出现排列为x3+4x2-5x-6的情况。

（四）注重引导学生分析与理解“单元结构”

“单元结构”就是在一定的情境中，用不同的字母表示不同的量，以一定方式组合构成这一量的基础结构。比如：x 与x2表示不同的单元结构。在进行理解时，x 表示的一维的数量，而x2则表示二维的数量。再如：合并同类项的课堂设计中，从正数、负数、过渡到字母时，人教版教材七年级上册63页的探究中提到上述运算有什么共同特点时，在这里要体现“单元结构”相同，即字母相同，字母之间使用的运算方式相同。比如ab 与a+b，这里字母都是ab，但是运算的方式不同。又如：在计算(1+x)2=1+2x+x2时，学生会将其与(1·x)2做类比计算为(1+x)2=1+x2。这时需要关注学生对于“+”与“·”意义的理解。可以尝试让学生进行实际问题的举例，或者也可以将x 换成具体的数字，让学生进行计算，发现其中的不同，进一步明确这两个代数式为什么不能进行类比。

（五）针对性评价学生的数学符号语言

在进行例题教学或学生练习、作业时，要求并引导学生将题设中的条件进行联系，再与性质、定理进行比较，并用规范的数学符号语言写出分析得到的新的数学结论。这样就算学生没办法完全解答好题目，也可以让更多的学生写出部分直接结论。教师再对学生解题过程中每一步的数学符号语言进行评价，可有效让学生体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。

例如解答题目：若一个多边形内角和是一个四边形的内角和的4倍，求这个多边形的边数。

对于学困生来说，只要他们可以给正确写出相关的计算公式：多边形内角和公式(n-2)×180°；四边形的内角和(4-2)×180°，就可以给出A+的评价。

再如解答题目：已知：如图（3），点B，C，E，F 在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：∠A=∠D

图（3）

总之，加强数学符号语言教学是提升学生解题能力的重要途径。通过理解符号含义、规范书写、准确使用以及适量的强化练习，学生才可更好地掌握数学符号语言，提高解题能力，为他们未来的数学学习和应用打下坚实的基础。