“特殊与一般”思想在“函数的单调性”教学中的应用

石佳佳

摘要：单调性是函数最重要的性质之一，也是高中数学教学的重点内容.结合沪教版新编高中数学必修一教材的章节安排，采用从“特殊到一般”，再从“一般到特殊”的辩证思想，引导学生对函数的单调性进行探究，全面提升学生掌握抽象数学概念的能力.

关键词：函数;单调性;从特殊到一般;从一般到特殊

1 课程分析

函数是高中数学的核心内容，也是难点部分.在函数的诸多性质中，单调性无疑是非常重要的.2020年，上海市全面启用沪教版新编高中数学教材（下文简称为新编教材）.与旧版教材相比，新编教材更加注重数学知识的内在逻辑和思想方法，教学概念解释得更加清晰透彻，大幅提高了教材的可读性.在新编教材中，“函数的单调性”安排在必修第一册第5章第2节“函数的基本性质”中，是在函数概念和表示方法之后，学习的函数的第二个基本性质.本节公开课的教学目标有以下两点：一是学习函数单调性的抽象概念，二是学会根据函数单调性的定义判断给定函数的单调性.

新编教材中，对函数单调性定义的描述具有一定的抽象性，学生难以准确理解和掌握单调性的含义.其实，函数的单调性普遍存在于一些具体、特殊的函数中.另外，学生在初中阶段已学过一次函数、二次函数与反比例函数等具体函数，对它们的图象、性质等比较熟悉.值得注意的是，学生在第4章已学习了指数函数与对数函数的函数值随着自变量的变化而变化的规律，对这些类型的函数的图象、性质等比较熟悉.因此，在给出单调性的定义之前，笔者首先引导学生回顾指数函数与对数函数等，总结出它们的共同性质，即根据函数值随着自变量变化而变化的现象，引导学生概括函数单调变化的规律，并用严格的数学语言加以描述，最终抽象出函数单调性的定义.因此，学生在函数的单调性概念的学习中，经历从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养，有助于他们更好地掌握函数单调性的概念［1-2］.采用上述从特殊到一般的正向过程，通过简单的函数案例，总结出函数单调性的定义，再采用从一般到特殊的反向过程，带领学生研究更多具体的函数单调性案例［3］.此时学生已对函数的单调性有较多的认识，因此可适当增加探究案例的复杂程度，让学生利用所学新概念解决更复杂的问题，增強数学知识的获得感，进而提升学习抽象数学知识的积极性.

2 教学思想

笔者在“函数的单调性”教学中，灵活采用了特殊与一般的数学思想，先是从特殊到一般的正向过程，通过简单的函数案例总结出函数单调性定义之后，再采用从一般到特殊的反向过程，带领学生研究更多具体的函数单调性案例.2017年普通高等学校全国统一招生理科数学考试大纲中对特殊与一般的数学思想有明确的解释［4］：“特殊与一般的数学思想是通过对问题的特殊情形（如特殊函数、特殊数列、特殊点、特殊位置、特殊值、特殊方程等）的解决，寻求对问题的一般的、抽象的、运动变化的解决思路.”特殊与一般的数学思想主要包括两个方面，即从特殊到一般与从一般到特殊.如图1所示，从特殊到一般，是指在学习抽象的数学概念、定理、性质的过程中（如函数单调性），通过从具体的例子着手研究，归纳出知识的本质属性，采用归纳推理最终得出一般性结论.反之，从一般到特殊，是指将得到的一般性结论运用在实践案例中，运用演绎法处理具体的新问题.

3 公开课实录

3.1 创设情境，引出课题

德国心理学家艾宾浩斯，曾对人类记忆遗忘程度进行了实践研究.经过实际测试，得到表1所示的一些数据：

师：请同学们用描点法画出“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发现什么规律？

生：记忆量随着时间的增长而减小，从图象上来看，呈下降趋势.

师：仔细观察遗忘曲线，能给我们怎样的启示呢？

生：当我们学了一个新知识暂时记住之后，很快就会开始遗忘，而且在记住后的两天内就会遗忘大部分.随着时间的推移，保留的记忆量越来越少，遗忘的越来越多.因此，可以总结出人脑的记忆保留量随着时间的增长而逐渐递减；反之，记忆遗忘量随着时间的增长而逐渐增多.艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学习完一个新的知识要及时复习，这样才能提高学习效率.

师：非常好！回归到本节课内容，图象呈上升或下降趋势反映了函数的一个基本性质，即本节所研究的函数的单调性.

师生互动：教师提出问题，学生思考回答，教师补充并引出本节课题.

设计意图：一个好的问题能引起学生兴趣，启迪学生的思考，将思维引向深刻.利用“艾宾浩斯遗忘曲线”引入新课，可以激发学生学习数学的兴趣，引发探究数学知识的欲望.

3.2 从特殊到一般

师：我们已经学习了指数函数和对数函数的单调性，它们的单调性如何？

生：指数函数y=ax（a>1）在区间（－∞，+∞）上是严格增函数.图象由左至右是上升的，函数值y随着自变量x的增大而增大.

师：如何用符号语言描述指数函数y=ax（a>1）在区间（－∞，+∞）上是严格增函数？

生：任取x1，x2∈（－∞，+∞），当x11）在（－∞，+∞）上是严格增函数.

师：很好！那对数函数y=logax（a>1）的单调性呢？

生：对数函数y=logax（a>1）在区间（0，+∞）上是严格增函数.图象由左至右是上升的，函数值y随着自变量x的增大而增大，即任取x1，x2∈（0，+∞），当x11）在区间（0，+∞）上是严格增函数.

师：结合指数函数与对数函数在给定区间上是严格增函数的符号语言，能给一般函数y=f（x），x∈D下一个严格增函数的定义吗？

生：任意x1，x2∈D，当x1

师：有没有不同的意见？是所有的函數在定义域上都是严格增函数吗？你能举出反例吗？

生：y=x2的定义域为R，而它在区间［0，+∞）上是严格增函数.

师：非常好！所以我们需要修订定义中的区间，不妨设区间I是D的一个子集.下面给出课本上对一般函数单调性下的定义：“对于定义在D上的函数y=f（x），设区间I是D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1

师：类比严格增函数的定义，你能否给严格减函数下一个定义？

生：对于定义在D上的函数y=f（x），设区间I是D的一个子集，对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），就称函数y=f（x）在区间I上是严格减函数；如果总有f（x1）≥f（x2），就称函数y=f（x）在区间I上是减函数.

师：非常好！上述我们定义的“严格增”“严格减”“增”及“减”统称为函数的单调性.

师：根据函数单调性的定义，严格增函数是增函数吗？增函数是严格增函数吗？

生：严格增函数是增函数，但增函数未必是严格增函数.

设计意图：引导学生采用从特殊到一般的数学思想，用符号语言定义函数的单调性.

3.3 从一般到特殊

（1）常值函数的单调性

师：下面探究常值函数y=c（c∈R）的单调性，请同学们分小组讨论.

生：结合函数单调性的定义，常值函数y=c（c∈R）在定义域（－∞，+∞）上既是增函数也是减函数.

（2）二次函数的单调性

师：探究二次函数y=x2－2x的单调性，并加以证明.

生：先结合该二次函数的图象得出初步结论，再通过函数单调性的定义给出证明.

令f（x）=x2－2x，设x1

f（x1）－f（x2）=（x1－x2）（x1+x2－2）>0，

因此f（x1）＞f（x2）.故y=x2－2x在（－∞，1］上为严格减函数.

同理，y=x2－2x在［1，+∞）上为严格增函数.

师：你能归纳出利用定义证明函数单调性的一般步骤吗？

生：①设x1，x2是给定区间内的任意两个实数，且x1

②比较f（x1）与f（x2）的大小；

③给出结论.

师：上述二次函数y=x2－2x在区间［－2，2］上是严格减函数吗？

生：不是.当x=1时，f（x）=－1；x=2时，f（x）=0.

师：你能构造一个二次函数，使得它在区间［－2，2］上是严格减函数吗？

生：若二次函数的图象开口向上，则只需对称轴在区间［－2，2］的右侧即可.

师：结合上述特殊的二次函数，探究一般二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）的单调性，并加以证明.

生：设x1，x2是区间－∞，[JB（]－b/2a[JB）］]内的任意两个实数，且x10，则f（x1）－f（x2）<0，故f（x1）

因此，二次函数y=ax2+bx+c（a<0）在区间－∞，－[JB（]b/2a[JB）］]上是严格增函数.同理可以证明y=ax2+bx+c（a<0）在[JB（［]－b/2a，[JB）]+∞上是严格减函数.

设计意图：利用函数单调性的定义，探究常值函数、二次函数等特殊函数的单调性问题，巩固了函数单调性的定义，更体现出一般到特殊的数学思想.

3.4 课堂小结

师：这节课主要学习了什么？有何收获？

生：通过“艾宾浩斯遗忘曲线”的引入，结合指数函数、对数函数等特殊的例子，学习了函数单调性的定义，并掌握了利用函数单调性的定义证明函数单调性的方法与步骤.

师：本节课体现了哪些数学思想？

生：从“特殊到一般”、再从“一般到特殊”的辩证数学思想.

4 举一反三

新编教材着重强调培养学生的数学学科核心素养，摆在第一位的便是数学抽象能力，即从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用抽象的数学语言予以表征.在结构安排上，新编教材在介绍抽象概念之前，会先介绍相关具体化的概念.例如，在必修第一册第5章介绍函数性质之前，先在第4章介绍指数与对数函数；在必修第二册第7章介绍三角函数之前，先在第6章介绍三角的数学概念;等等.特殊与一般的思想方法不仅符合学生对新概念的认知规律，也符合新编教材编排规律与课程标准提出的提高学生推理能力的要求［5］.因此，在新知识、新概念的教学过程中，结合具体授课内容特点，灵活实施特殊与一般的数学思想，注重在分析、归纳与概括的过程中形成概念，并在概念形成之后，运用具体练习强化对新学概念的理解，最终能提升学生掌握新编教材中抽象数学知识的能力［6］.

5 小结

综上可知，沪教版新编数学教材加强了对学生数学抽象能力的培养，对一线教师的教学能力与水平提出了更高的要求.本文中以函数单调性的抽象定义教学为例，提出利用从“特殊到一般”、再从“一般到特殊”的数学思想，引导学生在具体案例与一般定义之间灵活转换思维，使抽象的数学定义形象化，破解学生对抽象数学知识的学习障碍.在实际教学当中，教师应深挖新编教材的结构规律，了解学生已掌握的知识背景，合理安排与选取典型的教学案例，促使学生全面提升掌握抽象数学概念的能力.

参考文献：

[1]陈棉驹.新知学习中实施特殊与一般思想方法教学的思考[J].中学数学教学参考，2020（Z2）：156-158.

［2］王小国，李敏.从特殊到一般，类比解抽象函数难题[J].数理化学习（高中版），2021（4）：42-44.

［3］郑娜.浅谈“由特殊到一般”数学思想的应用[J].新课程（中学），2012（11）：29.

［4］教育部考试中心.2017 年普通高等学校全国招生考试数学科理科大纲[M]. 北京： 高等教育出版社，2017.

［5］李伟.运用“特殊与一般”数学思想解决问题的思考[J].数理化解题研究，2017（25）：2-4.

［6］姚志青.函数性质中的数学抽象在问题解决与设计中的应用[J].上海中学数学，2022（4）：22-24，29.