加强变式训练 实现融会贯通

［摘  要］ 数学教学不可能将所有题都讲一遍、做一遍，想要实现知识的融会贯通，最便捷的方式就是从不同的背景、视角来变化问题的呈现形式，但保持问题的本质特征不变. 由此，变式教学应运而生. 研究者从“提炼并应用数学思想方法”与“聚拢相对分散的教学内容”两方面出发，谈谈变式教学的现实意义，并以“动态空间几何中的最值问题”为例，阐述如何应用变式实现知识的融会贯通.

［关键词］ 变式训练；问题；动态空间；几何

变式训练是数学课堂常用的一种教学方式. 在日常教学中，学生自主难以将复杂、零散的知识整理成系统的知识结构，变式则可让学生更好地了解知识点的诸多变化，帮助学生在解题过程中发现问题的本质，从而快速探寻到解题的突破口. 因此，这是一种教育发展的产物，能有效改进教学上的一些不足，对提高教学实效，发展学生数学学科核心素养具有重要价值与意义.

变式教学的现实意义

1. 提炼并应用数学思想方法

数学学习贯穿学生的整个学习生涯. 多年后，学生有可能忘记当年所学的知识与解题方法，但在学习过程中提炼出来的数学思想方法却能让其受益终身. 最常见的数学思想方法有数形结合、转化与化归等，变式教学能帮助学生更好地提炼这些思想方法，让学生利用这些数学思想方法来分析与解决问题. 变式将不同的问题有机地融合在一起，让学生透过问题的表象发现本质，为后续更好地解题与学习新知夯实方法基础.

2. 聚拢相对分散的教学内容

从高中知识板块的划分来看，它们并没有直观的相关性. 变式教学的应用，则可将这些看似毫无关联的知识点聚拢起来，帮助学生更好地把握其中的规律，完善知识体系，提炼数学思想方法. 解题教学中变式的应用，可促使学生根据问题所提供的条件提取有用的信息进行解题，这对强化学生对知识的了解具有重要意义，能够帮助学生更好地掌握知识本质，提升学生的数学思维水平.

笔者以“动态空间几何中的最值问题”为例，探讨如何开展变式教学，以实现知识的融会贯通.

教学过程简录

1. 展示问题，提炼本质

原题 如图1所示，正方形ABCD和ABEF的边长均为1，平面ABCD与平面ABEF垂直，动点M，N分别于所在正方形的对角线AC，BF上移动，始终保持CM=BN，记作CM=BN=a（0

分析 由题设条件可知，AB与BC，BE垂直，因此AB与平面CBE垂直. 因为MN与平面CBE平行，所以AB⊥MN. 如图5所示，过点M作MP⊥AB，P为垂足，连接NP，则AB与平面MPN垂直，所以AB⊥NP；过点M作MQ⊥BC，Q为垂足，△MQC与△BPN均为等腰直角三角形，同时MQ=BP，所以△MQC≌△BPN，可得CM=BN. 至此，变式题1就转化成了原题，此为“化未知为已知”的过程，即将不熟悉的问题转化成学生熟悉的问题来分析，解题得心应手.

设计意图 变式题1的得出，意在引导学生感知对于同一个问题可用不同的方式来表述，使学生感悟到数学问题间的联系. 虽然学生基于直观视觉会发现本题和原题具有高度相似的地方，抑或具有等价的特点，却碍于缺乏严谨的推理过程无法直接下结论. 借助变式暴露学生的思维，可及时发现学生的优劣点，以此为依据点拨、发展学生思维的严谨性. 同时，带领学生“化未知为已知”，对发展学生的逻辑推理能力、直观想象能力和转化与化归思想等具有重要意义.

2. 变式探究，丰富思维

变式题2 如图6所示，已知ABEF是边长为1的正方形，弧APB为以AB为直径的半圆，AP=BP，平面ABEF与平面ABP垂直，M，N为线段BF上的两个动点，且∠MAN=30°，则三棱锥P-ANM体积的最小值是多少？

设计意图 变式题3蕴含“翻折”这个隐含条件，且该条件具备动态特征，也就是将原本单动态的问题转化成多动态的最值问题，问题变得更加复杂. 基于“化未知为已知”的思想，想要解决此类题型，最好的办法就是将多变量转化为单变量，基于以上探索方法从三角函数出发探索结论，一方面帮助学生巩固三角函数的性质，另一方面发展学生的推理素养. 基于类比思想的辅助，学生很快就从变式题2的解法中得到启发获得结论. 因此，变式题3的提出，为发展学生的数学素养搭建好了平台.

设计意图 变式题4的应用，意在引导学生在深度理解的基础上构建函数模型，为解决动态空间几何中的最值问题奠定基础. 学生在解题过程中，不仅体验了结论的形成过程，还深切体会了怎样择取最优的解题方法、如何合理引入参数、如何应用最简运算方法等，这对优化学生的认知结构，发展学生的逻辑推理能力具有重要意义.

变式题5 如图10所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°，如果平面CBA外的点P与线段AC上的点D，满足DP=DA，BP=BA，那么点P到平面BCD的距离的最大值为______.

设计意图 变式题5的应用，意在引导学生切身感知数学知识间的关系，从而体会各类问题的源流，消减学生对立体几何的畏难心理，这对发展学生的融会贯通能力以及“四能”具有重要意义.

4. 梳理总结，提炼升华

带领学生一起回顾本节课的教学，根据变式探索来总结用函数模型解决动态空间几何中的最值问题的常规方法，以深化学生对知识间联系的理解，强化学生对转化与化归、类比推理、分类讨论等思想方法的应用.

设计意图 引导学生掌握数学知识与技能，提炼数学思想方法等是数学教学的根本任务. 课堂总结并非单纯地将教学流程重新捋一遍，而是归纳本节课的教学手段、数学思想方法等，有效地重组新旧知识，帮助学生构建新的知识结构，为发展学生的数学素养服务.

几点思考

本节课探索的是动态几何中的最值问题，此类问题除了考查学生对基础知识与技能的掌握程度外，更重要的是拔高学生的思维，引导学生在数学思想方法的辅助下，借助类比推理活化思维，发展学力. 此类问题常考常新，虽说学生遇到的问题可能不一样，但解题的核心理念是相通的——可以用代數法与几何法来解题. 在此，笔者谈几点思考.

1. 学生是变式训练的主体

知识的“再创造”是数学教学的核心，即让学生亲历实践、探索与思考，去创造并获取知识，而非被动接受. 变式教学的目的在于提升学生的解题能力，发展学生的数学学科核心素养，这需要将学生放在首位.

在教学中，教师可创设一些丰富的问题情境引发学生对变式进行合作交流、反思评价，从真正意义上完成知识的“再创造”，使教学成为一个思维递增的过程. 学生自主将获得的知识与能力有机地融合起来，从真正意义上实现知识与能力的正迁移. 如本节课，多个变式题相连，逐层递进，有效拓展了学生的思维，使得每一个学生都从中构建了属于自己的解题思路.

2. 问题是变式的表达方式

问题是数学的心脏，是思维的源泉. 变式题在解题教学中的应用，就是用问题链组织教学的过程，学生通过对问题的了解与突破可有效激发学习内驱力，对教学重点与难点产生探索欲，这对发展数学思维、促进知识迁移具有重要作用.

变式训练需要将原题作为“母题”，结合教学内容特点与学情特征循序渐进地设计难易程度适中的问题，以启发学生的思维. 本节课就是在原题的基础上，结合教学内容特点与学生的认知水平，根据新课标的要求设计了5道变式题. 变式题的难度逐层递增，有效发展了学生的解题能力与综合素养.

3. 探究是变式的研究手段

变式教学离不开探究活动的开展，探究是发散学生数学思维的重要方式. 教师应对学生的实际学习能力以及认知水平有一个明确的认识，紧扣学生的最近发展区，通过对典型问题进行变式，为学生提供更多自主探究的机会，不断锤炼学生的认知能力，促使学生学会从不同层次与视角来分析问题，进一步夯实学生对知识本质与内涵的理解.

实践证明，随着变式教学应用的推广，学生的思维越来越活跃，这与新课标的要求相一致. 为此，教师应结合学情应用变式教学从真正意义上发展学生的创造能力、思维能力以及融会贯通能力.

作者简介：魏新超（1982—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获全国青年教师展示课二等奖、浙江省优质课评比二等奖.