巧妙设计问题 培养数学素养

［摘  要］ 问题是思维的起点，是引发学生思考的动力源，数学学习过程离不开问题的指引. 在教学中，教师应基于教学实际巧妙地设计问题，提升学生的主体意识，让学生在问题的解决中深刻地理解知识，打通知识间的内在联系，提升数学素养.

［关键词］ 问题；主体意识；数学素养

谈起数学学习，学生常常用“抽象”“枯燥”“难度大”等词语来评价，之所以如此，与教师的教和学生的学息息相关. 从教师的角度来看，不少教师在教学中循规蹈矩、按部就班，很少研究新教法，使得数学课堂枯燥乏味，不能有效利用课堂；从学生的角度来看，部分学生的基础薄弱，没有形成良好的自主学习习惯，参与课堂的积极性不高. 另外，受传统教学模式的影响，学生对教师过度依赖，使得教学中常常出现学生“懂而不会”的现象，降低了学生的学习兴趣和学习信心. 因此，在教学中，教师有必要更新教学观念和教学方法，尽最大可能激发学生的学习兴趣. 问题驱动是有效的教学方法之一，借助问题可以有效调动学生参与课堂的积极性，在问题解决中触发学生的灵感，激发学生的热情，提高学生的数学能力. 笔者在教学“同角三角函数的基本关系式”时，用问题驱动开展课堂教学活动，取得了较好的教学效果，现将课堂教学过程呈现给大家，供参考.

教材分析

本课教学前，学生已经掌握了任意角的三角函数的定义，知晓各象限角的三角函数值的正负号取法等内容，这些旧知为新知的学习奠定了基础. 本课内容既是前面所学内容的延续，又是后面三角函数研究的基础，其在三角函数教学中发挥着承上启下的作用. 通过本课学习，学生可以完成三角函数式的化简、求值以及三角恒等式的证明，培养逻辑推理能力，提升数学计算能力，发展数学素养.

教学目标

（1）经历三角函数的基本关系式的推导过程，提升学生的自主探究能力.

（2）利用同角三角函数的基本关系式解决简单的化简、求值、证明等问题.

（3）通过问题驱动提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的合作探究能力.

教学简录

1. 复习旧知，引入新知

问题1 按照要求填写表1，观察表1说说你有什么发现.

师生活动：预留时间让学生独立完成表1的填写，并启发学生思考同一个角α的三个三角函数间存在怎样的关系.

设计意图 从特殊值出发，启发学生在特殊中探寻一般规律，降低思维难度，提高课堂参与度. 通过表1的填写既帮助学生复习原有的知识，又给予学生直观感受，有效启动学生的思维，激发学生的探究兴趣.

师生活动：先让学生独立思考，然后组织学生讨论辨析，帮助学生形成正确的认识.

设计意图 以上题目看似简单，但是内容丰富，这样借助实例引导学生思考辨析，可以深化学生对知识点的理解，培养学生的思辨能力，提升学生的数学素养.

问题5 结合问题4的探究经验，你们认为在应用同角三角函数的基本关系式时，要注意些什么？

师生活动：通过有效的互动交流，学生得到如下注意点：①角的形式不重要，重要的是同角；②同角三角函数的基本关系式与角的象限无关；③同角三角函数的基本关系式中所指的角是有意义的角.

设计意图 以小组为单位安排学生进行互动交流，充分发挥学生的主体意识，培养学生的自主学习能力. 在理解同角三角函数的基本关系式的基础上进一步思考辨析，可以帮助学生形成清晰的认识，提高归纳概括能力.

问题6 若将sin2α+cos2α=1，tanα=进行变形，你能得到什么？

学生活动：学生给出如下变形式，sin2α=1-cos2α，cosα=±，cosα=，sinα=cosα·tanα.

设计意图 对公式进行等价变形，为公式的灵活应用打下坚实的基础. 同时，通过变形活跃学生的思维，提高学生的数学应变能力.

3. 例题解析，夯实基础

例1 已知sinα=，且α是第二象限角，求cosα和tanα.

师生活动：学生独立求解，教师巡视并展示学生的解题过程.

问题7 结合例1的求解过程，请说一说解决此类问题需要注意什么.

师生活动：学生互动交流，总结归纳如下注意点，①解决此类问题首先要确定角的终边位置；②在利用平方关系开平方时，要注意各象限角的三角函数值的正、负.

例2 已知sinα=，求cosα，tanα.

师生活动：学生独立求解，教师巡视学生的解答过程，并展示错解，让学生交流与争辩，摒弃错误的认识.

问题8 例2与例1有何不同，在解决此类问题时，又需要注意什么呢？

师生活动：在教师的引导下，学生将例2与例1进行对比，理解确定角的终边位置的重要性，渗透分类讨论意识（根据例2的题设信息判定角α是第一或第二象限角，所以解题时需要分两种情况进行讨论）.

设计意图 上述两题（例1和例2）均为基础题，重点考查学生对同角三角函数的基本关系式的掌握情况. 在此过程中，教师着重让学生总结归纳解题时注意的要点，这样不仅可以达到夯实基础的目的，还可以培养思维的严谨性，有效规避盲目套用而出现错解或漏解的情况.

4. 课堂互动，提升能力

师生活动：教师没有直接给出相应的练习题巩固强化学生的认识，而是将出题的主动权交给学生，让学生根据自己对同角三角函数的基本关系式的理解编写相应的题目，并邀请同学解答，然后相互评价. 教师巡视，挑选经典题目并投影展示. 例如：

（1）已知cosα=-，且α是第三象限角，求sinα和tanα.

（2）已知sinα=，且α是第四象限角，求cosα和tanα.

（3）已知cosα=-，tanα=，且α是第三象限角，求sinα.

问题9 以上题目是否正确？如果正确，请写出正确的解答过程；如果不正确，请说一说问题在哪里.

设计意图 让学生变换角色，从教师的角度参与编题、解题、评题等过程，帮助学生更好地理解相关的知识点. 在此过程中，教师引导学生对错误进行深入剖析，在深化知识理解的同时，培养思维的缜密性和完整性.

5. 课堂小结，升华认知

问题10 通过本课内容的学习，你掌握了哪些知识、方法？本课内容与前面哪些知识有紧密的联系？

师生活动：教师预留时间让学生独立思考、归纳总结，然后组织学生互动交流.

设计意图 教师预留时间让学生回头看，归纳总结本课所学的知识内容、思想方法等，以此促进知识的巩固和素养的提升. 在此过程中，教师引导学生关注知识间的内在联系，以便学生将新知纳入原有的知识体系中，逐步完善学生的认知体系，提高学生的迁移能力和归纳概括能力，落实学生的数学素养.

教学思考

1. 立足学生，激发兴趣

好的教学设计应该是符合学生认知水平、顺应学生思维发展的. 在教学中，教师不要贪多、求难，应结合学生自身特点设计难度适中的问题，以此增强学生的学习信心，激发学生的学习兴趣. 本课教学设计，以基础题为主，重点呈现学生的思考过程，让学生在互动交流中深刻地理解知識，归纳总结应注意的问题，以此增强学生的学习信心，提高学生的解题准确率.

2. 问题驱动，发展素养

本课教学设计，以发展学生的数学素养为目标，结合学生的最近发展区创设环环相扣的问题，引导学生经历同角三角函数的基本关系式的形成、发展和应用等过程，充分激发学生的主体意识，增强学生的学习信心，促进“减负增效”教学目标的落实. 在教学中，教师应改变“填鸭式”教学模式，将学习主动权交给学生，让学生成为课堂的主人.

总之，在教学中，教师要站在学生的角度处理问题，重视学生的主体地位，引导学生多角度、多视角思考问题，让学生站在更高的层面理解知识，以此提高课堂教学魅力，发展学生的数学素养.

作者简介：蔡旦利（1983—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作.