如何解答中考数学最值问题

马国华

最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点。在中考题中出现比较高的主要有利用配方法求最值，利用绝对值的几何意义求最值，利用几何结论（如两点之间线段最短、垂线段最短、两边之差小于第三边等）求最值，利用函数的性质（一次函数和二次函数）求最值。

一、代数最值问题

（一）二次式的最值问题——配方法

例1  当x=_______，且y=_______时，代数式（-x2-2y2-2x+8y-5）有最大值，最大值是_______。

解   -x2-2y2-2x+8y-5=-（x2+2x+1）-2（y2-4y+4）+4

=-（x+1）2-2（y-2）2+4

当x=-1，且y=2时，原式有最大值4。

（二）两个绝对值的和或差的最值问题——数轴法

例2 函数y=|x+4|-|x-3|的最小值是____， 最大值是____。

解  在数轴上，如图1所示，函数y=|x+4|-|x-3|的含义是，x到-4的距离与x到3的距离的差，可以分析，x到-4的距离与x到3的距离的差最小为-7，最大为7。

即-7≤|x+4|-|x-3|≤7

（三）生活中的最值问题——函数图象法

例3  俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%。在试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元。

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

解  （1）y=300-10（x-44）

即y=-10x+740（44≤x≤52）

（2）根据题意得，（x-40）（-10x+740）=2400

解得，x1=50，x2=64（舍去）

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元。

二、几何最值问题

（一）能建立函数关系式的最值问题——函数图象（性质）法

例4  如图3所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求出此时点E的坐标。

解 （1）∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），

∴ OB=3

∵ OC=OB

∴ OC=3

∴ c=3

∴ [a+b+3=09a-3b+3=0]

解得，[a=-1b=-2]

∴ 所求抛物线解析式为

y=-x2-2x+3

（2）如图4所示，过点E作EF⊥x轴于点F，

设E（a，-a2-2a+3）

其中，-3＜a＜0

∴ EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a

∴ S四边形BOCE=[12]BF·EF+[12]（OC+EF）·OF

=[12]（a+3）·（-a2-2a+3）+[12]（-a2-2a+6）·（-a）

=[-32a2-92a+92]

=[-32a+322+638]     （-3＜a＜0）

由图5可知，当a=[-32]时，S四边形BOCE最大，且最大值为[638]。

[a][O][-3][S]

当a=[-32]时，-a2-2a+3=[154]

∴ 点E的坐标为（-[32]，[154]）

（二）不能建立函数关系式的最值问题——几何性质（两点之间线段最短）法

例5  如图6所示，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，求（BE+DE）的最小值。

解  如图7所示，作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，B′D交AC于E，此时，BE+ED=B′E+ED=B′D

根据两点之间线段最短可知，B′D就是（BE+DE）的最小值，

∵ B、B′关于AC对称，

∴ AC、BB′互相垂直平分，

∴ 四边形ABCB′是平行四边形，

∵ 等边三角形ABC边长为2，D为BC的中点，

∴ AD⊥BC，AD=[3]，BD=CD=1，BB′=2AD=2[3]

作B′G⊥BC的延长线于G，

∴B′G=AD=[3]

在Rt△B′BG中，

BG=[BB′2-B′G2]=[232-32]=3

∴ DG=BG-BD=3-1=2

在Rt△B′DG中，BD=[DG2+B′G2]=[22+32]=[7]

故，（BE+DE）的最小值为[7]。