关于“19.1变量与函数”的第二次教学设计

金文艳

【教学背景】 本人对人教版“19.1变量与函数”这节课进行了两次思考与分析，下面是我第二次上这节课时的教学设计。

【教学内容分析】本课是函数的起始课，是典型的概念课。函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量，本课在充分体会运动变化过程中数量变化的基础上，领会变量与常量的含义，进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念。

【学情分析】 变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中，“变量与函数”较为抽象，学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义。另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例。在本节教学中，从学生较为熟悉的现实生活入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么”，初步理解函数的概念。

【目标分析】1.基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量。2.借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。3.借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系。能判断两个变量间是否具有函数关系。

【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念。

【教学难点】怎样理解“唯一对应”。

【教学方法】自主探究与合作交流为主。

【教学过程】

（一）引入新知

1.观察图片，体会变化

（引入语）“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，云图随时间变化而变化，汽车行驶的路程随时间变化而变化……在你的周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。为了研究这些运动变化现象中变量间的依赖关系，数学中逐渐形成了函数概念。人们通过研究函数及其性质，更深入地认识现实世界中许多运动变化的规律。本章中，我们将从初步认识变量和函数开始，重点学习一类最基本的函数——一次函数。

2.具体实例，感受新知

问题1  电影院收入问题

（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影票的票房收入各多少元？

（2）若设一场电影售出票x张，票房收入为y元，则y＝_________________。

（3）在以上这个过程中，变化的量是_________________，没变化的量是_________________，即y随_________________的变化而变化。

（4）当售出票数x取定一个确定的值时，对应的票房收入y的取值是否唯一确定？

（例如，当x＝150时，y的取值是唯一、还是有多个值？）答：________________。

问题2  温度变化问题

如下图，是某地春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：

（1）填写下表：

（2）在这一天当中，在4时～12时，气温（ ），在12时～14时气温（ ），在16时～24时，气温（ ）。

A.持续升高        B.持续降低        C.持续不变

（3）天气温度随_________________的变化而变化，即T随_________________的变化而变化。

（4）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？

（例如，当t＝12时，所得温度T的取值是唯一、还是有多个值？）答：____________。

（二）提炼定义

在上面的问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（如电影票的单价10元……），并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值。

以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化，

（1）当t＝0点时，T＝2；

当t＝2点时，T＝0；

（2）当t＝12点时，T＝8；

当t＝12点1分时，T＝8；

当t＝12点2分时，T＝8；

……

当t＝14点时，T＝8；

在情况（1）（2）中，时间取定一个值时，所得T的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t，能把温度T“唯一确定”。

反之，当T＝8时，所得t的值为12—14点之间的任一时刻（是“多对一”），通过温度T，不能把时间t“唯一确定”。

在这个问题中，我们把温度T称为时间t的函数。（但时间t不是温度T的函数，因为通过温度T，不能把时间t“唯一确定”。）

一般地，在一个变化过程中，

（1）数值发生变化的量叫做_________________。

（2）数值始终不变的量叫做_________________。

（3）如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有_________________的值与之对应，称x是_________________，y是x的_________________。

（4）如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当x＝a时的函数值。

【问题回顾】

指出前面问题中涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数。

1.“票房收入问题”中

（1）涉及到的量有______________，其中的变量是________，常量是________。

（2）________是自变量，y是x的函数。

2.“气温变化问题”中

（1）涉及到的量有______________，其中的变量是________，常量是________。

（2）____________是自变量，T是t的函数。

注意  常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化。

【典例剖析】

例1 一个三角形的底边为5，这一边上的高h可以任意伸缩，三角形的面积S也随之发生了变化。

解 （1）面积s随h变化的关系式s＝_______，其中常量是_______，变量是_______，_______是自变量，_______是_______的函数。

（2）当h＝3时，面积s＝________；当h＝10时，面积s＝________。

（3）当高由1变化到5时，面积从_________变化到_________。

例2 如果用r表示圆的半径，半径r的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些变量是半径r的函数吗？

分析

半径r→圆面积S，并有S＝πr2，S是r的函数。

半径r→圆周长C，并有C＝2πr，C是r的函数。

半径r→圆直径d，并有d＝2r，d是r的函数。

（三）巩固新知

1.购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：

[x（支） 1 2 3 … y（元） ]

（1）y随x变化的关系式y＝_________________，_________________是自变量，_________________是_________________的函数。

（2）当购买8支签字笔时，总价为_________________元。

2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里。他离开家后的距离s（千米）与时间t（时）的关系如下图所示。

（1）当t＝12时，s＝_________________；当t＝14时，s＝_________________；

（2）小李从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米。

（3）距离是时间t的函数吗？

（4）时间是距离的函数吗？

（四）课堂小结

函数的概念

1.常量、变量

2.自变量、函数

（五）课后作业

课本第81页第1、2题。

（六）板书设计

_________________19.1.1变量与函数

在一个变化过程中，

（1）数值发生变化的量叫做_________________。

（2）数值始终不变的量叫做_________________。

（3）如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有_________________的值与之对应，称x是_________________，y是x的_________________。

（4）如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当x＝a时的函数值。

（七）教后反思

这节课上下来，学生挺轻松的。通过调整把函数的概念放到这节课中，从内容上来看比之前的设计充实了很多。整个教学过程也显得饱满，节奏感也比之前好多了。