基于素质教育导向的一元二次方程根与系数教法探究

摘 要：一元二次方程是中考的重要知识点，其中根与系数的关系更是中考的核心和常客，也是对一元二次方程内容的理解和應用的深化，对后续知识二次函数及一元二次不等式的学习具有决定性影响.因此，教师在教学中，要夯实基础、探索规律、拓展应用，通过知识的追本溯源，吸引学生深入理解知识和探索知识的兴趣，进而达到灵活应用知识的境界.

关键词：一元二次方程；根与系数的关系；教法探究；知识应用；数学素养

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）03-0018-03

数学作为自然科学的基础学科，其思想方法在日常生活工作中被广泛应用，对社会创新思维和人类文明进步起到重要推动作用[1].在数学教学中，不仅要重视理论知识的灌输，也要重视教学过程中的数学思想方法，通过数学课程设计，充分激发学习兴趣，促进数学思想方法形成[2].

人教版九年级数学课本中，关于“一元二次方程根与系数的关系”从求根公式着手，探索根与系数的关系，再用求根公式法和因式分解法证明根与系数间的关系规律，在教学设计中，注重新旧知识间的转化及归纳运用，但对定理的历史来源体现不足，对数学思想和文化的培养不够显著[3].

为了提高学生学习“一元二次方程根与系数的关系”的兴趣和教学效果，培养学生数学思想方法，在此，文章采用多角度不同方法论证根与系数的关系，使学生深入透彻理解“由特殊到一般、设而不求”的数学思想及该定理多种证法的本质，感受数学之美，以及定理的美妙应用[4].

1 “一元二次方程根与系数的关系”证法关于根与系数之间的关系在历史上很多数学家都发现过它们之间存在联系，为了尊重数学问题发现的客观事实，便于人们认识事情的发展规律，本文对一元二次方程根与系数的关系进行了梳理归纳.

1.1 代入相减法

数学家韦达在《方程的理解与修正》中给出的第一个定理，就是一元二次方程中两根之和、两根之积与系数的关系[5].其用代数式表达为-x2+px=q的两根之和为p，两根之积为q.其证明如下：解 设方程-x2+bx=c（b＞0，c＞0）的两根分别为x1，x2，代入方程得

这一定理的推导不考虑重根情况，虽然粗略但其推导蕴含着设而不求的数学思想，并运用了代入化简的数学方法.学生从历史经纬理应了解此方法，至少在课程中应该作为一个重要的补充，增强学生的数学文化.

1.2 因式分解法

18世纪瑞士数学家欧拉在《代数基础》中采用因式分解法，证明了一元二次方程根与系数的关系.其先设方程x2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，（x-x1）（x-x2）=0，（x-x1）（x-x2）=x2+bx+c，x2-（x1+x2）+x1x2=x2+bx+c比较系数得x1+x2=-b，x1·x2=c.

欧拉也是采用设而不求的思想来证明一元二次方程根与系数的关系，与韦达不同，欧拉采用了因式分解的方法，而且欧拉的证明没有排斥重根的情况.

1.3 拉克洛瓦“新证法”

18世纪法国数学家拉克洛瓦在《代数基础》中给出了一种新的证明方法.

拉克洛瓦的证明采用了设而不求的数学思想，不同的是，拉克洛瓦没有假设方程的两根，而是只假设了方程的一个根.

通过溯源数学史，我们发现：（1）一元二次方程根与系数的关系定理的意义，在于未知方程的两根，而求得这两根的和与积；（2）数学史促进数学发展不仅有实际应用，还能满足人类的智力好奇、审美娱乐等；（3）数学史上，任何概念、公式、定理或问题都不是某一个数学家，也不是某一个国家或地区的专利，不同时代、不同文明、不同地域的数学家都可能做出各自的贡献.一元二次方程根与系数的关系定理的发现、发展也同样体现了多元文化.鉴于此，“一元二次方程根与系数的关系”课例教学重构式地融入该定理的演进史.首先，引导学生通过归纳得到一元二次方程根与系数的关系，进而证明这一结论，体验由特殊到一般的数学思想；然后，运用求根公式证明韦达定理后，沿着数学家的足迹，运用因式分解法、代入相减法与拉克洛瓦“新证法”进一步探究该定理的证明，渗透设而不求的数学思想，感悟数学家的理性精神，培育动态的数学观.

2 教学过程

2.1 情境创设

我们设计“先走出鸡笼的前6只鸡是母鸡，采用非完全归纳推出鸡笼所有的鸡都是母鸡”这一谬论实例，揭示通过解有限个方程来总结根与系数的关系是不严谨的，任何定理都需要经过严谨的证明.

此时，引导学生能否总结出一元二次方程根与系数的关系，并问此结论能否作为一个定理？

针对根与系数的关系，多数学生会直接给出：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，但针对这个结论能否作为一个定理的回答，大多数学生会选择能，少数学生选择不能.

师：能否通过这4个一元二次方程根与系数的关系，就此作为一个定理呢？生：不能，同样以偏概全和不严谨.教师引导学生要让这个结论作为一个定理，你要怎么做？学生说需要经严谨的演绎证明.教师要强调唯有证明其是真命题，才可作为定理.

2.2 韦达定理的多种证法

教学中指导学生采用求根法、因式分解法、代入相减法和拉克洛瓦“新证法”证明此定理，让其感受数学证法和思想之魅力.很多同学会先用求根法证明之，下面为学生探索一元二次方程根与系数的教学片段.

师：采用一元二次方程求根公式严谨地证明了根与系数的关系，此定理（一元二次方程根与系数的关系）是韦达首先提出的，也叫韦达定理.然而韦达是通过不解方程而得到的.同学们请尝试韦达方法证明之.

2.5 课堂总结

本堂课在教师的引导下，学生

欣赏了一元二次方程根与系数关系证法的灵动和美妙，体会“设而不求”解法的魅力.在数学家的故事中揭开韦达定理的面纱，感叹数学家的光辉形象和对人类科学的贡献.通过观察学生与数学家证明方法的差异，激励学生探索真理的精神.

3 结束语

本课从素质教育出发，通过一个定理的多种证法，让学生理解数学思想方法之美；通过了解历史中数学家对该定理证明的贡献及数学方法的研究，领略数学的奥秘，激发学生学习热情和探索精神，化被动为主动，提高教学效果.从而，避免了课堂教学的沉闷和教学中题海战术的无奈，学生在自由探索中了解了定理的来源，体验到了追求知识的乐趣.

参考文献：

［1］ 顾沛.南开大学的数学文化课程十年来的探索与实践： 兼谈科学教育与人文教育的融合[J].中国高教研究，2011（9）：92-93．

[2] 陈小花.数学思想方法在中学数学学习中的运用[J].现代中学生（初中版），2022（5）：35-36.

[3] 赵然.中学数学课程思政的教学实践与思考[J].福建教育学院学报，2022（5）：1-3.

[4] 黄贤明.基于5E教学模式的“一元二次方程的根与系数的关系”教学设计与思考[J].数学通讯，2022（4）：3-6.

[5] Viète F. The analytic art[M]. New York： Dover Publications， 2006.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-10-25

作者简介：傅丽娜（1982.5-），女，福建省莆田人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.