“同构法”在数学解题中的应用

摘 要：在数学的世界里，解题方法的创新和高效性始终是推动数学发展的关键因素之一，特别是在数学教育中，探寻既有效又具有启发性的解题方法对于激发学生的学习兴趣和培养其解决问题的能力至关重要.在众多解题技巧中，同构法作为一种独特的思维工具，在近年的高考和模拟试题中显示了其独特的价值.同构法涉及的不仅仅是简单的数学变换，还是一种深入探究问题本质、揭示数学结构之间内在联系的方法.通过将复杂的数学问题转换为结构上一致的形式，同构法不仅简化了问题的解决过程，而且有助于学生更深入地理解数学概念和原理.本文旨在全面解析同构法在解题中的应用，从函数分析、不等式处理等习题提供一系列具体的实例和解析，以期为数学教育领域提供新的视角和启示.

关键词：同构法；数学解题；函数

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）03-0057-03

近年来，随着数学教育的发展，特别是在考试试题中，同构法逐渐显现出其独特的应用价值.同构法，作为一种数学思维工具，不仅在高等数学领域有着广泛的应用，同时在高中数学的教学和问题解决中也展现了显著的效果.它通过建立数学问题间的结构映射，使学生能够在更抽象的层面上理解和解决问题.因此，通过具体分析和实例展示，探讨同构法在高中数学问题解决中的实际应用及其潜在的教育价值，以期为数学教学提供新的视角和方法.

1 巧用同构解函数

函数的分析和求解是一个关键领域.同构法在函数的处理中表现出其独特的优势，尤其是在转换复杂函数为更简单、易于理解和操作的形式上.针对这一部分将深入探讨如何巧妙地应用同构法来解决各种函数问题，通过基础函数习题到混合函数习题解析来引导学生运用同构法解决函数数学习题.

在这个习题的解答过程中，可以看到同构法的应用及函数的图象分析，在解决看似复杂的数学问题时扮演了关键角色.通过巧妙地变换变量，可将原本的问题转化为更易于理解和分析的形式.在这个特定的案例中，首先对方程进行了变量替换，将问题转换为分析两个函数图象交点的横坐标的问题.关键的一步是认识到两个给定的函数2t和log2t互为反函数，它们的图象关于直线y=t对称.此外，通过将这两个图象与直线y=3/2-t的交点联系起来，我们能够运用函数图象的对称性质找到解的等量关系.这种解题方法不仅展示了同构法在数学问题解决中的实用性，还体现了数学美学——通过图象的对称性来简化问题.此外，这也强调了在高中数学教学中，教师应该鼓励学生探索不同的解题方法，特别是在面对看似复杂的问题时.通过这种方式，学生不仅能够学习到数学知识，还能够培养他们的创造性思维和问题解决能力[3].总的来说，这个习题是对高中生数学能力的一个很好的挑战，也是对他们逻辑思维和空间想象能力的一次有效训练.

3 结束语

本次研究深入探索了同构法在高中数学解题中的应用，特别是在解决方程、函数问题以及找寻等量关系方面的有效性.可以看到，同构法不仅是一种数学工具，而且是一种强大的思维方式，它可以帮助学生从一个新的角度理解并解决问题.无论是在求解具有复杂结构的方程、分析函数的性质，还是在探索不同数学表达式之间的等量关系时，同构法都展示了其独特的价值和实用性.通过具体的习题解析，学生利用同构法可以将复杂的数学问题转换为更简单、更直观的形式，从而更有效地找到解决方案.这些习题不仅展示了同构法的应用，还强调了创造性思维和逻辑推理在数学问题解决中的重要性.在教学过程中，这种方法不仅能够帮助学生掌握数学概念，还能培养他们的解决问题的能力和创造性思维.在具体实践教学中，教师应该鼓励学生探索多样的解题方法，特别是在面对复杂问题时.这不仅有助于学生更深入地理解数学概念，还能够激发学生对数学的兴趣和热情.通过这种方式，学生可以在数学学习的道路上取得更大的进步，并为将来数学进阶学习打下坚实的基础.

参考文献：

［1］夏继平.例谈“同构法”在高中数学解题中的应用[J].中学数学研究，2023（08）：46-48.

[2] 虞哲骏.同构法在数学解题中的应用[J].中学生数学，2022（19）：18-19.

[3] 袁方程，黄俊峰.同构法在数学解题中的应用[J].中学数学教学，2019（06）：63-65.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-10-25

作者简介：周祥（1980-），男，江蘇省宝应人，本科，高级讲师，从事数学教学研究.