构建生态课堂 回归数学本质

柯丽娟 石纪芬

［摘  要］ 以“配方法解一元二次方程”为例，在教学中设计有效问题串，由浅入深、循序渐进地引导学生对教学内容进行深度思考，培养学生独立获取知识的能力，形成前后一致、逻辑连贯的学习过程，让学生认清“配方法解一元二次方程”的本质，构建以生为本的生态课堂，让课堂学习更高效、更有创造力.

［关键词］ 生态课堂；数学本质；配方法；一元二次方程

近年来，教育工作者越来越重视学生自主学习能力的培养，而设计有效问题串驱动课堂，构建生态课堂是培养学生的自主学习能力的有效途径. 生态课堂是“生本”课堂，以生为本，尊重学生，突出学生的个性，强调学生在课堂活动中积极主动思考［1］. 生态课堂上，教师根据学情设计合理而自然的问题激发学生思考，尊重学生的主体地位，使其真正获得成长. 同时《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学课堂应凸显学生的主体地位，关注学生个性化、多样化的学习和发展需求［2］. 数学教学要善于将数学的“学术形态”转化为数学的“教育形态”，其内涵就是教师不应将教材上的内容当作金科玉律，把教参中的提示当作颠扑不破的真理，把预先设计好的教案当作亦步亦趋的向导传递给学生，而应将教学过程看成是师生双方积极主动，动态生成，共同生长的过程，这一过程是教师和学生对客观事物的意义进行合作建构的过程，是一个类似于生命成长的过程［3］. 本文以北师大版九年级数学第二章“一元二次方程解法——配方法”这一课为例，在认真研读教材和分析学情的基础上，就如何构建生态课堂、探寻配方法解一元二次方程的数学本质，谈谈自己的看法.

备课思考

在用配方法解一元二次方程的过程中，当学生遇到二次项系数不为1的情况时，屡屡出错，总是忘记要先将二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方. 究其错误根源，是我们在教学过程中过度注重了方法的总结，刻意引导学生总结得出所配常数项是一次项系数一半的平方，按部就班地从直接开平方法进行引导，把学生的认知定位在开平方，没有把握好配方的实质. 那么，配方的本质是什么？配方法解方程的本质是什么？最终落脚点在哪里？教师应该将“配方法解一元二次方程”这节课最终的落脚点定位在完全平方式，将一元二次方程转化成（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式，然后利用开平方或者平方差公式将方程进行降次，进而转化为一元一次方程求解. 基于以上思考，为了有效拓展学生思维的深度和广度，笔者对本节课的教学目标及教学过程做如下设计.

教学设计

教学目标：（1）通过配方活动，让学生经历探索用配方法解一元二次方程的过程，体会配方法解一元二次方程的实质；

（2）通过有效追问，让学生经历独立思考、交流表达的过程，提高数学思维和数学表达能力，会根据题目选择配方法，灵活运用配方法解一元二次方程.

教学重点：会用配方法解一元二次方程.

教学难点：配方的过程，确定所配的项.

1. 关注学生认知，引出课堂主题

活动1   解下列方程（上节课学习了因式分解法解一元二次方程）.

（1）（x－1）2－9=0

（2）x2－2x+1－9=0

（3）x2－2x－8=0

（4）x2－2x－7=0

追问1：方程4除了左右两边同时减去1转化为方程3的形式，最后转化为方程1的形式，能否通过加减别的数，直接转化为（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式？？摇

预设生成：还可以将方程左右两边都加上1，得到方程x2－2x+1－7=1，进而转化为（x－1）2=8；也可以将方程左右两边都加上8，得到x2－2x+1=8，进而转化为（x－1）2=8.

总结：像上面通过添项（或拆项）配完全平方式的过程，简称“配方”. 最终将方程转化为（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式，进而求解方程，这种解一元二次方程的方法叫作配方法.

追问2：如何确定配方的项？配方的项与已知的哪些项有关？

预设生成：因为最终要写成a2±2ab+b2的形式，所以先确定a，然后将一次项拆开写成2ab的形式，再确定b. b2即为所配的数字.

设计意图  方程1可用因式分解法或直接开平方法将其转化为两个一元一次方程直接求解，方程2和方程3可转化为方程1的形式求解. 追問1 引导学生用添项的方法将方程4转化为方程1的形式，或者转化为（x－m）2=n的形式，自然引出课题——用配方法解一元二次方程. 4个方程循序渐进，联系紧密，从学生已有认知出发，以学生为主体，让学生自己发现它们的联系与区别，让学生自己进行问题的转化，体会化归思想. 在得出“配方”的概念之后，追问2 引导学生思考如何进行配方，配方的项由哪些项决定，给予学生充分的思考和探究时间，让学生发现配方的实质是要配成完全平方式，继而为配方找到依据.

2. 关注概念本质，探索学习新知

活动2  将下列方程转化为（x－m）2=n.

（1）x2－4x－3=0

（2）x2－6x+1=0

（3）x2－5x－2=0

追问3：配方过程中遇到了哪些困难？

预设生成：方程3和方程4在将一次项拆分成2ab形式时有困难，不容易发现b.

追问4：请同学们观察完全平方式a2±2ab+b2，想一想如何解决同学们在配方中遇到的困难？

预设生成：用一次项除以2a即可找到b.

设计意图  配方法解一元二次方程的关键是配方，活动2设计二次项系数为1的一元二次方程，让学生扎实掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方，为后面解二次项系数不为1的一元二次方程做好铺垫. 方程1和方程2的一次项系数为偶数，所配的数字是整数，方程3的一次项系数为奇数，方程4的一次项系数为分数，难度层层递进，学生很难做到一眼就得到b. 学数学就是玩概念，解决数学问题要始终依据概念，因此教师引导学生再次回到完全平方式的概念，认真观察完全平方式，归纳总结b的寻找方法，即用一次项除以2a.

3. 回归生成本源，促发课堂效力

活动3  将方程2x2－4x+1=0进行配方.

追问5：如何将二次项变形成a2.

预设：

（2）应该利用等式的基本性质，左右两边同时除以二次项系数2，将二次项系数化为1，二次项就可变形为x2.

（3）方程的左右两边还可以同时乘以二次项系数2，将二次项变形为（2x）2.

预设：

？摇？摇方法2：方程两边同时乘以2，得到（2x）2－8x+2=0，移项配方得（2x）2－8x+4=2，即（2x－2）2=2.

追问6：是否还可以乘以或除以其他数字呢？请举例，并分析两种方法的异同.

预设生成：可以乘以8、18等能使二次项系数变为完全平方数的数字. 将二次项系数化为1，是把数据变小，配方的数也相对较小. 方程两边同时乘以二次项系数，可以使b为整数或者是分母比较小的分数.

设计意图  学生已经掌握配方的关键是找到a、b，最终配成a2±2ab+b2的形式. 本题的二次项系数为2，不为1，不能直接得到a，对此教师没有直接提问该如何解这个方程，也没有引导学生将二次项系数化为1，而是先引导学生思考如何将二次项变形为a2，让学生自主思考，提高学生的自主学习能力. 通过本题的分析，学生认识到要将二次项变形为a2，可以将方程左右两边同时除以二次项系数，也可以将方程左右两边同时乘以二次项系数，最终利用活动1的方法完成本题的配方.

4.？摇理解概念本质，灵活运用新知

活动4  用配方法解下列方程.

设计意图  设计一个二次项系数为1的方程，三个二次项系数不为1 的方程，其中一个所配的数为整数，一个所配的数为分数，另一个二次项系数为分数，层层递进，由易到难，但变中有不变，目标是怎样将其配成完全平方式，不限制学生的思维，让学生根据自己的认识选择合适的方法，尊重学生的个性.

5. 应用拓展，巩固所学新知

阅读下面的材料，回答问题：同学们，下一节课我们将学习公式法解一元二次方程，求根公式的生成可以将方程ax2+bx+c=0（a≠0）变形为a2x2+abx+ac=0（a≠0），还可以将方程变形为4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）. 通过比较可以发现4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）配方更简单. 求根公式的获得过程如下：

4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）

（2ax）2+2·2ax·b+b2=b2－4ac

（2ax+b）2=b2－4ac

请问以上求根公式的获得过程有没有不完善的地方？若有，请将过程完善.

设计意图  设计本道阅读题，再一次巩固本节课所学的方法，这既是本节课的应用拓展，将配方法解一元二次方程由特殊转为一般，同时也为下节课用公式法解一元二次方程做铺垫，使学习过程的衔接逻辑更加连贯、联系更加紧密.

设计思考

1. 重概念理解，揭示配方法本质

艾莉森坦言：“我有自己的顺序，教材只是仓库，我只找我需要的.”围绕核心概念将教材内容重新组织，学数学就是学概念，本设计重视对概念的理解，揭示配方法的本质. 本节课教材是通过观察几个代数式的配方直接总结出“所配数字为一次项系数一半的平方”，教师们往往让学生按照这个规律反复操练，形成肌肉记忆，学会用配方法解一元二次方程. 而本设计通过认真研读教材，明确配方是通过添项（或拆项）配完全平方式的过程，最终目标是配完全平方式，至于用什么方法配成完全平方式，教师没有让学生总结课本上特有的规律，而是通过提问“如何将二次项变形成a2”引导学生知其然更知其所以然，所有方法自己得出，自己应用，自己修改. 自己想出来的方法是最好的，也是最有成就感的，同时也避免了配方中总是忘记将二次项系数化为1，导致后续二次函数学习中的错误，更为下节课求根公式的得出做了很好的铺垫.

2.？摇重问题导向，启迪学生思考

数学思维不是教师教出来的，而是学生在经历知识的发生发展过程中自然生成的. 教师要将教材的“静态知识”转化为动态、生成的教学资源，把课堂的“复制知识”转变为发展、生长的课堂，从而使学生主动获取知识. 这样的课堂是新一轮课程改革中核心素养落地的根本，也是追寻数学育人价值、立德树人的关键. 本设计重视引导学生经历问题解决的全过程，把对每点题意的理解、每条路径的探索、每个方法的呈现、每种解答的余味都化成子问题让学生充分体验与思考. 那么，如何设计才能启迪学生思维，让学生真正思考，让课堂富有活力呢？本节课有两个关键问题，一是“如何确定配方的项？配方的数字与已知的哪些项有关？”，该问题解决了配方的难点；二是“如何将二次项变形成a2”，这个问题启发了学生的思维，有些学生将其二次项系数化为1，有些学生将方程两边同时乘以二次项系数. 实践证明，两者皆可. 相比直接告诉学生将二次项系数化为1，这种提问方式更能引发学生思考，启发学生思维，让课堂更有活力.

3. 重过程教学，完善知识网络

数学是一门思维的学科，数学课堂不能只单纯地学习知识，而应重视知识的来龙去脉，只有不孤立地看待每个知识点，完善知识网络，才能融会贯通，才能学习知识背后所承载的数学思想、数学方法、数学素养. 就“配方法解一元二次方程”这节课而言，教师不能就“法”论“法”，它应建立在“开平方法”的基础上，同时教学时应紧扣“完全平方式”，所以活动1的设计是基于上节课因式分解解方程的前提，从设计符合学生认知的题目开始，层层递进，关注方法产生的过程，突出思维发展的过程；活动2在活动1的基础上进行方法的体验，活动3是对方法本质的理解，让学生从“方法的体验”到“本质的理解”再抵达活动4的“灵活运用”，最后的“应用拓展”又为后面公式法解一元二次方程进行了铺垫，让学生学习“公式法”时不再陌生. 本节课引导学生自主构建知识体系，构建前后联系、逻辑连贯的学习过程，为后续的学习积累了重要的学习方法，也充分体现了数学学习过程的意义.

教后记

在完成本节课的教学之后，九年级下册学习二次函数一般式化为顶点式时，学生除了按照课本上配方法的步骤进行配方，还运用了其他的方法（如图1、图2）. 通过这两种解法可以看出有些学生并没有直接使用课本中配方的步骤，而是真正理解了配方法的本质，构建了属于自己的知识体系.

随着新课改的推进，课程观念的更新，教学理念的激荡，教学方式和学习方式的转变，学生在课堂上应充分发挥其主体性、积极性、创造性，師生共同构建个性化、自主化、和谐生态并充满活力的数学课堂. 教师应从促进学生的发展出发，对教学内容进行合理构建，设计符合学生认知，能揭示问题本质，能提高学生思维的数学活动，使学生的学习是在教师的引导下积极主动、富有活力、鲜活的过程，让课堂富有创造力. 总之，教师应尊重学生个性、充分相信学生，把课堂还给学生，引导学生自己总结解题方法，让知识的获得自然而然，让学习真正发生.

参考文献：

［1］王婉莹，刘锡光. 回归数学本质，打造生态课堂——特级教师刘德武“认识负数”教学片段赏析［J］. 江西教育，2021（23）：41-44.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］卜以楼. 生长数学：卜以楼初中数学教学主张［M］. 西安：陕西师范大学出版社，2018.