大概念引领 整体化建构

肖启星

［摘  要］ 初中数学的章起始课是数学教学中的重要课型. 研究者通过回顾一次函数学习活动经验，引导学生类比思考，让学生整体建构二次函数学习内容；同时以大概念为指导，帮助学生在二次函数知识建构的过程中形成数学思维方式，发展数学核心素养.

［关键词］ 章起始课；大概念引领；整体化建构；二次函数

初中数学的章起始课是数学教学中的重要课型. 通过章起始课，学生可以整体感知整个章节内容，为后续学习奠定基础. 同时，章起始课还提供了师生、生生互动交流的机会，让学生体会章节的学习方法和策略，有助于培养学生的数学思维和解决问题的能力. 因此，重视并有效利用章起始课，对于提高初中数学教学质量和促进学生的全面发展具有重要意义.

2022年11月，笔者在广东省教育科学研究院的安排下，录制了广东省中小学青年教师教学能力大赛一等奖优质教学资源课例——“二次函数”章起始课. 本节课的教学以“大概念引领，整体化建构”为立意，按照先行组织、类比思考、整体建构的思路展开. 接下来，笔者将阐述这节课的教学实践与教学思考.

内容分析

本节课是北师大版九年级下册第二章第一节“二次函数”的内容. 二次函数是初中数学的重要内容之一，它是学生学习代數式、方程、一次函数、反比例函数后的综合学习内容. 二次函数的学习不仅强化了学生对函数概念、图象、性质、应用、研究方法等进一步的理解掌握，同时也为高中继续学习其他函数和一元二次不等式奠定了基础.

学情分析

学生已经经历了一些解决实际问题的活动，会从实际问题中抽象出一次函数和反比例函数的概念，并会用列表、图象、解析式三种方法研究函数，以及掌握了所学函数的表达式、图象及其性质，为学习二次函数新知识打下了基础. 同时在以前的数学学习活动中也积累了一定的合作交流经验，具备了一定的自主探究的能力.

目标设置

1. 在实际问题中建立变量间的二次函数关系，感悟其中的模型观念.

2. 通过类比一次函数形成二次函数的研究方法，对本章内容形成结构化和整体性认识，提升自主建构知识的能力.

3. 体会数形结合思想，培养抽象能力，发展几何直观.

重点难点

基于以上教学内容和学情分析，本节课以章起始课引领二次函数定义的学习，确定教学重难点.

教学重点：根据实际问题建立二次函数模型；研究二次函数的基本思路.

教学难点：从实际问题中建立二次函数的表达式.

教学实践

本节课从以下5个教学环节展开：回顾旧知，引入概念；归纳类比，形成概念；应用新知，辨析概念；拓展提升，巩固新知；总结思考，内化升华.

环节1：回顾旧知，引入概念.

问题1：大家有没有留意过喷泉水流经过的路线？观看篮球比赛时你是否留意过篮球入网的路线？它们会与某种函数有联系吗？这就是本章要学习的内容.

设计意图  通过讲解章引言和章头图，设疑引趣，唤起学生的求知欲. 同时明确本章的学习目标，为学生学习整个章节的知识起一个统领性的作用.

问题2：展示五个情境，学生思考.

情境1：在本月体育测试中，初三女生进行了长跑练习，平均速度为300 m/min.  假设练习时间为t（min），女生跑的路程为s（m），那么s与t之间的函数关系式是什么？

情境2：小勤同学买了一本中考英语词汇书，该书共有4000个单词，假设她计划用y天掌握全部单词，平均每天需掌握的单词数为 x（个），那么 y 与 x 之间的函数关系式是什么？

情境3：用总长为20 ｍ的篱笆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃. 设矩形垂直于墙的一边长为x ｍ，矩形的面积y ｍ2，y与x之间的函数关系式是什么？

情境4：随着中考临近，初三某毕业班的每个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念. 若学生有x人（x≥2），他们互相赠送的照片总数为y张. y与x之间的函数关系式是什么？

情境5：某商场销售一批衣服，每件进价40元，据市场分析，若按每件60元销售，平均每天可售出10件. 经调查发现，在一定范围内，衣服单价每降1元，商场平均可多售出2件. 若每件衣服降价x元，商场销售此种衣服的数量为y件，销售此种衣服的总利润为w元. y与x之间的函数关系式是什么？w与x之间的函数关系式是什么？

设计意图  从生活实际出发，学生自主发现两个变量之间具有某种数量关系，让学生感知函数的价值. 书写函数表达式的过程，就是将生活问题数学化的过程，进一步培养学生的模型观念.

学生思考获得以下函数表达式：（1）s=300t；（2）y=；（3）y= -2x2+20x；（4）y=x2-x；（5）y=10+2x，w=-2x2+30x+200.

问题3：其中有你熟悉的函数吗？我们是从哪些方面研究这些函数的？

设计意图  通过对一次函数的定义、图象、性质、应用的复习，唤醒学生已有的研究函数的基本范式，为后续研究二次函数做好铺垫.

环节2：归纳类比，形成概念.

问题4：（3）（4）及（5）中第二个函数这三个函数表达式有什么共同特征，你觉得叫什么名字合适？类比一次函数你能否归纳这类函数的定义？

学生通过对一次函数的观察和类比，能够得到这三个函数的共同特点：它们是关于自变量的二次多项式. 由此可以得到二次函数的定义：两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，称y是x的二次函数. a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.

设计意图  观察到三个表达式的共同特征都是含有自变量的二次项. 学生通过类比一次函数的命名来对这三个函数表达式进行命名，在新知识与旧知识的对比中，教师引导学生归纳出二次函数的概念和表达式，从而培养他们的抽象能力.

环节3：应用新知，辨析概念.

练习1：下列各式中，y是x的二次函数吗？如果是，请指出各项系数a，b，c是多少；如果不是，请说明理由.

设计意图  通过交流分享，概念辨析，加深学生对二次函数概念的理解. 在对各项系数辨析的过程中，强化学生的符号意识，发展其模型观念.

问题5：请同学们尝试在生活中或熟悉的数学问题中寻找二次函数的实例.

学生根据上一章一元二次方程所学和生活实践体会提出：圆的面积与半径之间的关系、自由落体物体下落的高度与时间的关系、握手问题、增长率问题等都有二次函数的实例.

设计意图  通过寻找生活中二次函数模型并列出二次函数的关系，进一步发展学生的模型观念. 通过感知二次函数与一元二次方程的关系，为学生今后学习二次函数的应用奠定基础.

环节4：拓展提升，巩固新知.

练习2：用总长为20 ｍ的篱笆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃. 设矩形垂直于墙的一边AB的长为x ｍ，矩形的面积为y ｍ2．（1）求y与x之间的关系式和变量x的取值范围. （2）当x取2 m、4 m、6 m、8 m时，相应的y值分别是多少？（3）你还能提出什么问题？

在“你还能提出什么问题”这个环节中，学生有如下问题：

①AB边为多长时，花圃的面积为49？

师：你是怎样想到这个问题的？

生：之前一直都是已知x去求y，我想反过来. （培养学生逆向思维）

师：如何解决这个问题？

生：可以通过建立一元二次方程求解. （学生进一步感知二次函数与一元二次方程的关系）

②AB边为多长时，花圃的面积最大？

师：你是怎样想到这个问题的？

生：x取2 m、4 m、6 m、8 m时，y的值都不一样，我猜测能否有最大值.

师：如何解决这个问题？

生：多给一些数据. （学生从特殊到一般去思考问题，发展抽象素养）

设计意图  学生通过编题，更加清晰地了解条件和结论的关系，能充分感知二次函数作为一个模型的主要作用是描述现实问题中的数量关系.

练习3：试填表（见表1），并观察表格，你发现了什么？

学生通过自主描点、连线观察，初步感知二次函数图象为曲线，教师顺势提出了二次函数的图象是抛物线的概念. 进一步观察图象，学生会发现随着x的增大，y先增大再变小. 教师适时引导学生思考：这个二次函数的图象还有什么样的性质？学生通过合作交流归纳出二次函数的开口方向、增减性、对称性、最值性等，学习了数形结合思想，发展了模型观念.

设计意图  探究“何时矩形的面积最大”的问题中，教师让学生用列表、图象、解析式三种方法去研究函数的最值的问题，为学生进一步学习二次函数的图象和性质打好基础. 这也体现了研究二次函数的路径：定义、图象、性质、应用. 通过构建二次函数单元的整体框架，有效帮助学生整体把握单元学习的主干知识，较好地体现了单元整体的教学理念.

环节5：总结思考，内化升华.

问题6：（1）本节课我们学习了什么？我们是怎么得到二次函数的？（2）我们从哪些方面研究函数？后续我们将学习二次函数的哪些知识？

设计意图  学生经过教师点拨、自主探究与合作交流，实现了知识的类比迁移，总结出了二次函数与之前所接触的函数同样遵循一定的研究路径：先把函数的概念通过具体的事例中抽象出来，再对函数的图象及性质进行探究，最后用函数的概念和性质解决实际问题. 给出二次函数的整体框架图，为后续的课堂教学提供明确的方向.

作业布置：

（基础性作业）随堂练习第1题，习题2.1第1题；

（拓展性作业）对于函数表达式y=3x3+1你可以给它命名吗？并说说你打算如何研究它？

设计意图  通过拓展性作业，让学生对函数的学习内容、研究方法、应用价值有更深层次的理解，从而类比探索未知函数y=3x3+1，发展迁移能力. 学生在高中学习指数函数、幂函数、三角函数等知识时，知道从概念、图象、性质、应用这些角度去研究.

教学思考

1. 重视大概念引领，凸显函数本质意义

通过对教材和课程标准进行研究，对具有相同的知识结构、研究路径、思想方法的教学内容进行梳理，提炼出大概念. 在大概念的引领下，教学内容由相同的研究路径加以支撑，从而形成体现数学学科本质，能发展学生未来学习力的结构化知识体系.

笔者对“函数是研究客观事物变化规律的重要模型”这一大概念进行提炼，通过具体实例让学生感受丰富的函数问题背景，体验一次函数与二次函数的区别和联系. 学生在类比的学习过程中，对“函数”大概念有进一步的深入理解和掌握，从而更好地理解函数的本质，掌握函数的思想和方法，提高函数的应用能力.

2. 渗透整体化建构，重视单元整体教学

在初中阶段，学生通过学习一次函数、反比例函数和二次函数等单元，深入理解了函数的概念及其在实际问题中的应用. 因此，初中函数的学习需要注重整体性和结构性，帮助学生建立完整的函数知识体系，为学生进一步学习数学和其他学科打下堅实的基础.

笔者把比较宏观的单元整体教学微缩到章起始课教学中，用单元整体教学的结构、思路、方式，处理章起始课的课时教学. 在章起始课中，笔者既揭示了二次函数单元的知识架构，又突出了本单元的核心问题，还渗透了本单元所需要的数学思想方法.

3. 注重思维的训练，发展学生核心素养

课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向. 核心素养是数学学习的关键，它有助于培养学生的思维能力，提高学生解决问题的能力.

笔者在教学二次函数时，通过实例引入二次函数的概念，让学生从实际情境中抽象出数学模型，培养抽象能力；通过探究矩形面积问题的实际情境，让学生进一步感受二次函数的模型，并理解如何运用二次函数模型解决实际问题，培养模型观念；通过列表、描点、作图，进一步体会二次函数表达式和函数图象的相互转换，感知数形结合思想.