数学史融入数学概念教学的设计与思考

摘  要：数学概念是构成数学知识结构体系的基础，理解好數学概念是学好数学的基础与前提，然而数学概念的抽象与不易理解使得数学“冰冷”与不可捉摸，在实际教学中，数学概念的教学往往重视形式、淡化本质。以曲线的参数方程的内容为例，从参数方程的数学史素材引入，运用问题驱动模式进行数学概念的教学设计，从学生已有的知识出发，引导学生通过旧知识发现新知识，培养学生发现问题与提出问题的能力，期望达到还原数学概念本质的教学意义。

关键词：数学史;数学概念教学;曲线的参数方程;问题驱动;教学设计

中图分类号：G640        文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）S2-0120-04

Abstract： Mathematical concept is the basis of mathematical knowledge structure system， and understanding mathematical concept is the basis and premise of learning mathematics well. However， abstract mathematical concepts being difficult to understand makes mathematics "cold" and unpredictable. In practical teaching， the teaching of mathematical concept often attaches importance to the form and downplays the essence. Taking the content of parametric equations of curves as an example， this paper introduces the material of mathematical history of parametric equations， and uses the problem-driven model to carry out the teaching design of mathematical concepts. Based on students' existing knowledge， this paper guides students to discover new knowledge through old knowledge， cultivates students' ability to discover and raise questions， and hopes to achieve the teaching significance of restoring the essence of mathematical concepts.

Keywords： history of mathematics; mathematics concept teaching; parametric equation of curve; problem-driven; teaching design

多年的数学学习，数学的定义、定理、符号、公式、推导、证明和大量的习题给学生留下了抽象、复杂、遥远、不讲道理、不可捉摸让的印象，即“冰冷的美丽”[1]。很多学生会有这样的一个困惑：为什么要学习数学？其实，不仅仅是学生会有这样的疑问，很多数学教师也说不清楚为什么要教的问题。

数学产生于社会生产的实际需要，伴随科学技术的不断发展与完善，最终数学也将应用于生产实践，社会的进步和人类的发展都离不开数学，学生们将来从事的科技、金融、经济、管理、工程乃至人文社科方面的工作都要求具备良好的数学素养与能力。这就使得学生必须面临一个现实的问题：数学很难学，但是又必须学。那么，数学可以变得简单、易懂、会用吗？数学可以变得平易近人，让学生喜欢吗？

数学史和数学史故事能拉近数学与学生的距离，让学生愿意接近数学，学生畅游在数学发展历史的“长河”中，通过再现数学概念诞生的背景、发展与完善的过程[2]，认识数学知识，了解数学知识发现和发展的过程，构建与理解数学概念，感受数学的魅力，激发对数学学习的热情，丰富知识储备，改变数学观，提升数学素养。

一  数学概念教学的认识

数学概念是学好数学的基础与前提，其是从实际问题中抽象得出的一种对现实对象的数量关系与空间形式的本质特征的反映形式，是最基本的数学思维形式[3]。由于数学概念本身抽象，不易理解，具有高度的概括性，所以在实际教学中，数学概念的教学设计是数学课程教学研究的重点。

教育心理学家奥苏贝尔提出影响学习最重要因素是学生已经知道了什么[4]，然后从学生的已有知识出发进行教学设计。数学家波利亚认为学生在课堂学习中，教师仅起到“助产士”的作用[5]，教学中应引导学生自己去发现尽可能多的东西，并且引导学生积极地参与提出问题和解决问题。

概念课的教学可以到追溯数学史上概念形成的过程，促使这个概念产生的最初的问题，即本原性问题展开，联系学生的实际认知水平，创设概念产生的现实问题情景引入，利用问题驱动的方法设计一系列的问题串，尽量还原数学概念的历史发展与形成过程，让学生感受到数学概念创作时的伟大，激发学生学习数学的内驱力[5]。

二  教学案例设计——以曲线的参数方程为例

（一）  教材与学情分析

曲线的参数方程的概念是学生学习极坐标与参数方程这一章内容的基础，是函数与圆锥曲线内容的延续，是平面解析几何的重要内容之一，是进一步学习高等数学、运动学等学科的基础，并在实践中有着广泛的应用。

本节课的教学对象为少数民族预科生，在学习本节内容之前，学生对直线、圆与圆锥曲线的方程等相关知识有一定的学习，对数形结合的思想有一定的了解，此外学生已有了一定的归纳、概括、抽象的思维能力。但学生的来源比较广泛，其数学基础差异较大，部分学生对数学中抽象的概念学习较为吃力。

（二）  教学目标分析

知识与技能目标：经历从实际问题抽象概括出参数方程概念的过程，理解曲线参数方程的概念;掌握常见曲线的参数方程;了解曲线的参数方程创立的历史背景。

过程与方法目标：能够熟练运用消去法和代入法等方法把常见的曲线的参数方程和普通方程进行相互转换，进一步提升利用所学知识解决问题的能力。

情感、态度与价值观目标：理解为什么要学习曲线的参数方程;体会其对数学发展产生的文化价值、应用价值与科学价值。

（三）  教学重难点分析

教学重点：理解曲线参数方程的概念，能够熟练将曲线的参数方程和普通方程之間进行相互转换。

教学难点：体会学习曲线参数方程的意义，能够选取恰当的参数，熟练地将曲线的普通方程转化为参数方程。

（四）  教法分析

本节课使用的教学方法有问题驱动法、任务驱动法、讲解法和练习法。

首先，本节课采用任务驱动的方式，在课前布置学习任务，查阅参数方程的数学史内容，了解本节课学习的主要内容，课上采用问题驱动的形式，以学生为主体，从学生熟悉的物理实例——平抛运动引入，启发学生从数学角度解决问题。引出参数方程与已学普通方程的认知冲突，归纳概括出一般参数方程的定义，使学生正确认识普通方程与参数方程的区别与不同，同时通过讲练结合的方法掌握普通方程与参数方程之间的相互转化。

（五）  教学过程与设计

1  观看课前资料，布置预习任务

课前在雨课堂发布预习课件，通过观看百岁山广告，了解广告背后的故事，引出心形线方程与数学家笛卡尔的生平简介，介绍本节课的学习内容——曲线的参数方程，同时给学生布置学习任务，搜集曲线的参数方程的学习资料，体会为什么要学习曲线的参数方程。

通过课前的预习，学生提前了解了本节课学习的主要内容，了解学习曲线的参数方程的原因，体会学习曲线的参数方程的意义所在。

2  巧设数学问题，合理展开探究

问题1：一个小球在离地面100 m的地方以2 m/s的初速度水平抛出，求小球在运动过程中的水平位移和离地高度。

从一个学生熟悉的物理实例——平抛运动的问题引入新课，让学生思考如何解决这个问题。通过复习平抛运动可以分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，引导学生根据高中物理知识找到水平位移和离地高度与平抛运动的关系。

为了从数学角度解决这个问题，引导学生建立平面直角坐标系，以地面为x轴，以过小球、地面的垂线为y轴，建立平面直角坐标系。引导学生得到小球在运动过程中的水平位移和离地高度就是小球运动到M点的横坐标x和纵坐标y。

问题2：小球运动到某点的水平位移与离地高度和什么有关系？

通过提问，引导学生发现水平位移和离地高度的变化和时间t有关。在这个问题中，可以建立x，y与运动时间t的关系。可列方程：x=2t

y=100-

gt2（t为时间，g为常数），如图1所示。

通过取特殊值，发现当t取遍它能取的所有值时，它总对应某个点，这些点全部在抛物线上，也就是说，这个方程对应的点都在这个抛物线上。反之，这个抛物线上的任何一个点都可以用方程组x=2t

y=100-

gt2表示出来。

得出结论：所以称方程组x=2t

y=100-

gt2所对应的图形是抛物线，这个方程组就是表示这条抛物线的一个方程。

问题3：这个方程组表示一条抛物线，其与原来学习过的抛物线的方程有何不同？

通过与原来学习的抛物线方程y=ax2+bx+c或y2=2px或x2=2py对比，发现而本节课得到的抛物线方程x=2t

y=100-

gt2中多了一个中间变量t，称为参数方程，t叫作参数。而之前学习的形如y=ax2+bx+c或y2=2px只用一个式子表示的方程叫作普通方程。通过与原来所学抛物线方程形式的对比，通过引发学生的认知冲突，引入参数方程的定义，体会参数方程的特征。

3  优化数学情境，自然引出课题

通过上面的实例，我们可以抽象归纳出一般情况下参数方程的概念。

方程x=f（t）

y=g（t）（t为参数），表示曲线C的参数方程，变量t叫作参变数，简称参数。

问题4：参数方程和普通方程比较起来，普通方程的形式更为简单，那么为什么要学习参数方程呢？

此环节可以根据学生课前准备的内容，分组进行汇报。

某些曲线无法建立其普通方程，或者曲线的普通方程建立起来比较复杂、比较困难，但用参数方程表示就相对容易。如图2所示，通过举出具体实例（摆线、圆的渐开线、星形线等），使学生理解在有了曲线的普通方程之后，仍要学习曲线的参数方程的原因，体会学习参数方程的意义，为今后高等数学的学习打下基础、埋下伏笔。

问题5：某些曲线建立其参数方程是相对容易的，那么能否把曲线的参数方程转化成普通方程呢？

对于某些曲线，我们是可以做到把它的参数方程化为普通方程。例如引例中的参数方程x=2t

y=100-

gt2可以通过消去参数方程中的t，化为抛物线的普通方程y=100-x2。

根据以上的思想，可以引导学生归纳出常见曲线的参数方程化为普通方程，如圆、椭圆、双曲线、抛物线和直线等。

问题6：如何能在圆x2+y2=4上快速地取出10个点？

学生会选择给x赋值，解出y的方法得到所求点。例如当x=±2时，y=0;当x=0时，y=±2;当x=1时，y=±;当x=-1时，……

追问：那如果是取20个点呢？

学生发现还按照以上的方法取点，但是比较麻烦。

教师引导发现，用圆的普通方程在圆上取点比较麻烦，进而得到使用参数方程取点的简便方法。若用圆的参数方程x=2cosθ

y=2sinθ，当θ取不同的值时，会得到圆上不同的点，比较简单。所以，有时候在解决实际问题时需要把曲线的普通方程转化为参数方程。通过亲身体验，体会曲线的参数方程的优点以及学习曲线的参数方程的原因。

4  设计数学例题，培养数学能力

例1：把下列参数方程化为普通方程。

x=3+4cosθ

y=5+4sinθ（θ为参数）;x=1+t

y=3-2t（t为参数）。

例：2 把下列普通方程化為参数方程。

2x-5y+10=0;+=1。

（分析与讲解过程略）。

5  反思教学内容，提升探究能力

通过对本节课教学内容进行归纳梳理，帮助学生理清所学的知识层次结构，形成一定的知识结构框架。①曲线的参数方程的定义以及学习参数方程的意义;②曲线的参数方程化为普通方程，并掌握常见曲线参数方程与普通方程之间的转化;③曲线的普通方程化为参数方程。

（六）  教学评价

通过对曲线的参数方程的教学设计的改进、实践与反思，笔者对于数学概念的教学设计有了进一步的认识。古希腊数学家毕达哥拉斯指出在数学的天地里，重要的不是我们知道了什么，而是怎样知道什么[6]。然而关于数学概念在教材中的呈现方式，以及多数教师对于数学概念的讲授方式多是以“冰冷”的定义方式呈现，这样很容易让学生失去探索数学的兴趣，从天而降地“告诉式教学”会让学生不能理解数学，认为数学概念的引入不讲道理，冰冷无情。

本节课从学生已经熟知的物理平抛运动问题出发，通过运用物理知识从数学角度解决问题，引出新知识参数方程与旧知识普通方程的认知冲突，使学生正确认识到普通方程与参数方程的区别与不同，以及它们之间的相互转化。通过以问题为驱动，环环紧扣，在教师的引导下，激发学生自主地进行思考，发现事物的共同属性，抽象概括出参数方程概念的本质属性，从而自主建构曲线的参数方程的概念。通过给学生介绍摆线、圆的渐开线与星形线，使学生理解为什么要学习曲线的参数方程，体会引入参数方程的概念的意义，为今后高等数学的学习打下基础、埋下伏笔。最后通过在圆上取点问题的提出与解决，回归学习概念的本源，使学生通过亲身体验，体会曲线的参数方程的优点以及学习曲线的参数方程的原因。

三  几点思考

（一）  数学史融入数学概念教学的教学价值

课本只是知识点的承载体，并没有反映出知识具体的形成过程[7]。而数学史记录了知识创造、形成直至完善的整个过程，反映了产生过程中的思维活动，以及贯穿着数学学科的发展与进步。在数学概念教学中融入数学史，就是再现数学概念的形成过程，使学生通过亲身经历这样的思维过程，加深对概念的理解与掌握，同时受到数学思想方法的熏陶与冶炼。例如本节介绍曲线的参数方程，要讲清楚曲线已有普通方程，为何还要引入形式更为复杂的参数方程。因此，教师有必要介绍参数方程产生的历史原因：实际生产实践的需要和数学研究的需要。数学故事与历史的引入，能让学生明白数学学科中的一些概念、定义与符号是如何而来的，了解它们的功能，感悟数学的发展与进步是人类进步的产物和自然客观的需求。

（二）  数学史融入数学概念教学的教学策略

数学概念是构成数学知识结构体系的基础，同样是数学思维的基础[8]。但在实际教学中，数学概念的教学往往重视形式、淡化本质，教师在教学中过分强调解题应试能力，而忽略学生对基础概念的理解，这使得学生在学习新的数学概念时不知道为什么学、学习内容的本质是什么、学习了有什么用？教师应当引导学生了解所学的数学概念引入的原因，理解所学概念的本质以及知道引入概念的意义。

教师在教授过程中需要对知识点进行处理与加工，形成符合学生认知水平的易于接受理解的知识。问题的提出与解决是数学的心脏[9]，教师的职责就是引导学生发现问题并解决问题，在问题的提出过程中，学生的逻辑思维能力得到了提升，在问题的解决的过程中，也强化了学生对数学概念的理解。

合适的问题可以激发起学生火热地思考和交流，勾起学生探索的兴趣，提高学生的创造能力。所以，教师在数学的概念教学中，适时地回归概念的本源，追溯概念形成的历史过程，使用本原性问题驱动教学[10]，引导学生在问题中思考，使学生经历数学知识再创造的过程，有利于深入领悟数学概念，理解概念的本质，从而更能体会到引入概念的应用价值，即解决概念教学中“为什么”“是什么”和“有何用”的问题。

参考文献：

[1] 张奠宙，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学[J].高等数学研究，2004（3）：8-10.

[2] 薛莺.利用数学史促进数学概念建构教学的实践与思考[J].中国数学教育，2021（19）：14-17.

[3] 邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程.教材.教法，2009，29（7）：47-51.

[4] 奥苏贝尔.教育心理学——认知观点[M].余南星，宋钩，等，译.北京：人民出版社，1994.

[5] 波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006.

[6] 伯特兰·罗素，瞿铁鹏，殷晓蓉.西方的智慧[M].上海：上海人民出版社，2017.

[7] 彭志强.高中数学教学中融入数学史的原则与实践[J].中学数学教学参考，2022（7）：8-11.

[8] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，等，译.上海：上海教育出版社，1995.

[9] 杨玉东.“本原性数学问题驱动课堂教学”的比较研究[D].上海：华东师范大学，2004.

[10] 杨玉东，徐文彬.本原性问题驱动课堂教学：理念、实践与反思[J].教育发展研究，2009（20）：68-72.

基金项目：2022年新疆师范大学教学研究与改革项目“数学史在落实高等数学课程思政中的教学应用研究”（SDJG2022-28）

作者简介：董慧莉（1991-），女，汉族，山东济宁人，硕士，讲师。研究方向为数学教育教学。