如何解答高中数学立体几何题

徐璐

【摘要】数学作为高中阶段的一门基础学科，学习难度大，具有抽象性强的特点，要求学生具备较强的逻辑思维能力.立体几何是高中数学中的重要知识内容，是高考中的必考知识点.立体几何题目具有灵活性和多变性的特点.在解题过程中，不仅需要学生掌握好基础知识，还需要学生掌握一定的解题方法与技巧，快速找出解题思路，提高解题效率.本文分析高中数学立体几何解题策略.

【关键词】高中数学;立体几何;解题策略

立体几何是高中数学学习中的难点与重点，在立体几何问题解题中，需要具有较强的空间想象能力以及逻辑思维能力，因此，大多数学生认为立体几何问题比较难.在实际的立体几何解题中，有着很多的解题方法和技巧，能够帮助学生少走弯路，提高学生解题能力.作为数学教师，应当结合例题讲解解题方法，让学生掌握解题方法的具体应用.

1  利用分类讨论方法解题

在立体几何解题中，需要认真分析题目，理解出题目的，结合题意画出草图，利用分类讨论方法，保证问题解答的全面性.

例1  已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠BAC=90°，BC1⊥AC，AB=AC=2，BC1=26，侧棱与底面成60°角，则三棱锥的体积是.

解  因为∠BAC=90°，

所以AC⊥AB，

因为BC1⊥AC，且AB与BC1存在共同点B，

所以AC⊥平面ABC1，所以平面ABC⊥平面ABC1.

因此，点C1在平面ABC上的射影在直线AB上，

过C1作C1H⊥AB，交点是H，设G1H=x，

（1）若点H在线段BA的延长线上，连接CH，

所以∠C1CH=60°，CH=33x，

在Rt△ACH中，AH=13x2－4，

在Rt△BC1H中，根据勾股定理解得x=15，

所以三棱柱的体积是15×12×2×2=215.

（2）若点H在线段AB上，在△BC1H中，根据勾股定理，x=26，即点H与点B重合，所以三棱柱的体积是46.

（3）若点H在线段AB的延长线上，在Rt△BC1H中，根据勾股定理解得x=26，不符合题意.

综上可知，三棱柱ABC－A1B1C1的体积是215或46.

2  利用向量法解答问题

在立体几何解题中，向量法是一种常用的解题方式.利用向量法构建相应的空间直角坐标系，将几何问题转化成代数问题，减少复杂的计算过程，帮助学生快速解决立体几何问题［1］.

例2  如图3所示，立体图形ABCD－A1B1C1D1是一个底面为矩形的四棱台，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1=CD=D1D=12C1D1=1.

（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；

（2）如果A1C与平面CC1D1D成的角是π3，求解二面角C－AA1－D的余弦值.

解    （1）如图4，作DH⊥C1D1于H，连接DC1，

因为CC1=CD=D1D=12C1D1=1，

所以D1H=12，则∠D1DH=30°，

所以DH=D1D·cos30°=32，

因为HC1=32，

所以DC1=DH2+HC21=3.

在△D1DC1中，因为D1D2+DC12=D1C21，

所以△D1DC1是直角三角形，且DC1⊥D1D，

因为平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且两个平面的交线为D1D，

所以DC1⊥平面AA1D1D，

因为AD平面AA1D1D，则AD⊥DC1，

因为AD⊥CD，DC∩DC1=D，

所以AD⊥平面CC1D1D.

（2）连接A1C1，以D1作为坐标原点，构建如图5所示的空间直角坐标系.

图5

因为A1D1⊥平面CC1D1D.

所以A1C1在平面CC1D1D的射影为D1C，

因为A1C与平面CC1D1D成的角是∠A1CD1=π3，

在Rt△A1CD1中，A1D1=3，

所以D1（0，0，0），A1（3，0，0），C0，32，32，

D0，12，32，C1=（0，2，0），

所以D1D=0，12，  32，D1A1=（3，0，0），

A1C1=（-3，2，0），

A1C=-3，32，  32，

设平面AA1D1D的法向量为m=（x，y，z），

所以m·D1D=0，m·D1A1=0，

所以12y+32z=0，3x=0，

令y=3，所以m=（0，3，－3）.

设平面AA1C1C的法向量是n=（a，b，c），

所以n·A1C1=0，n·A1C=0，

所以－3a+2b=0，－3a+32b+32c=0，

令a=2，所以n=（2，3，3），

根据图5分析，二面角C－AA1－D是锐二面角，

所以cos=|m·n||m|·|n|=623×4=34，

所以二面角C－AA1－D的余弦值是34.

3  结语

高中数学立体几何解题中，解题的方法有很多，需要學生掌握并且灵活利用，作为教师，讲解解题方法的同时，要求学生进行课堂总结，结合自身情况进行训练，体会解题方法的具体应用，从而提高学生的解题水平.

参考文献：

［1］王晨.高中数学立体几何高考试题解题分析［J］.高中数理化，2019（16）：1-2.

［2］王巧锋.浅谈高考数学中立体几何题的解题分析［J］.中学数学（高中版），2021（03）：79-80.

［3］王幼兰.高中数学立体几何高考试题分析与教学策略研究［J］.考试周刊，2023（23）：89-93.