浅谈一道圆锥曲线点对称问题的解题方法

高华顺

【摘要】圆锥曲线是高考的重要考点之一，考查学生对于三种圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线的理解和运算能力.圆锥曲线本身具有的对称性往往会对解题起到一定的简化作用，本文将结合实例探究点对称问题的解题方法.

【关键词】圆锥曲线；对称；高中数学

圆锥曲线点对称问题主要聚焦于圆锥曲线中点，线的对称性性质或是所要满足的条件的探究.下面根据一道圆锥曲线点对称问题来探究此类有关圆锥曲线对称性的解法方法，以供参考.

题目  已知椭圆C：x24+y23=1，存在一实数m，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有不同的两点关于这条直线对称，试确定m的取值范围.

解法1  设而不求，利用韦达定理

对于圆锥曲线中需要研究涉及直线与椭圆交点的问题，一般来说在联立得到关于交点坐标的方程后，并不选择解出方程的解来表示交点坐标，而是利用韦达定理得到交点坐标之间的关系，整体代入到表达式中验证或者求解.对于圆锥曲线对称类问题，交点坐标之间一般是有联系的，可以简化运算.

解析  椭圆上存在两点A，B关于直线l：y=4x+m对称，

设直线AB：y=－14x+n，

与椭圆联立y=－14x+nx24+y23=1，

可得方程13x2－8nx+16n2－48=0.

则由直线AB与椭圆有两个不同的交点，

可得Δ=－192（4n2－13）>0，

即－132

由韦达定理可得x1+x2=8n13，

则A，B两点中点的横坐标为4n13，纵坐标为12n13，

则点4n13，12n13在直线l：y=4x+m上，

代入可得m=－4n13，

结合n的范围可得－21313

点的对称一般都要涉及对两点所构成的线段的中点的坐标进行表示，此时韦达定理所得到的表达式结构就可以符合所需.在表示出中点坐标之后，代入中点需要满足的条件中，如在某条直线上，就可以得到未知数的值或范围.

解法2  数形结合，利用点差法

数形结合思想是解决圆锥曲线问题的重要思想，对于此类对称问题，可以在画出简图后将题目原本有关对称的条件转化为简图中可视化的几何状态，再利用代数运算得到几何状态所需要满足的条件即可.

解析  设椭圆上关于l：y=4x+m对称的两点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），将点A，B的坐标代入椭圆方程后，

得到x124+y123=1，x224+y223=1，

作差得kAB=y1－y2x1－x2=－3x04y0=－14，

y0=3x0，

所以以－14为斜率的平行弦的中点轨迹是直线y=3x在椭圆内的一段，不包括端点.

将y=3x与椭圆C：x24+y23=1联立，

得两交点P，Q坐标为P－21313，－61313，Q21313，61313，

所以問题可以转化为直线l：y=4x+m与线段y=3x，x∈－21313，21313有交点.

易得－21313

点差法是解决圆锥曲线对称问题的一个妙招.利用圆锥曲线表达式结构的特殊性，利用点差法可以得到有关斜率的表达式，再代入相关条件就可以解得弦中点坐标满足的等式，简化了运算过程.

解法3  根据方程根的分布讨论

利用方程思想，对于联立得到的方程的根所满足的情况进行讨论，利用Δ与其方程所代表的函数图象满足的性质，就可以得到答案.

解析  设椭圆上关于l：y=4x+m对称的两点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），将点A，B的坐标代入椭圆方程后得到

x124+y123=1，x224+y223=1，

作差得kAB=y1－y2x1－x2=－3x04y0=－14，

y0=3x0.

因为点M（x0，y0）在直线l：y=4x+m上得

y0=4x0+m，

结合可解得x0=－m，y0=－3m，

所以直线AB的方程为y=－14x－134m，

代入椭圆方程整理可以得到13x2+26mx+169m2－48=0，此方程在［－2，2］上有两个不相等的实根.

令f（x）=13x2+26mx+169m2－48，

则根据根的分布可以得到

Δ>0，f（2）≥0，f（－2）≥0，－2<－m<2，

解得－21313

此解法的关键在于对根所在范围的限制如何通过代数运算表示，要充分结合函数图象和题目限制条件讨论，以防错解漏解.

结语

上述三种方法从不同角度解决了这道圆锥曲线点的对称问题，此类问题的关键在于怎么合理转化对称的条件，使其变为可以使用的等式.掌握数形结合思想和点差法解决对称问题的技巧，可以使此类问题迎刃而解.

参考文献：

［1］张国川，任晓红.圆锥曲线中非对称韦达式的处理策略——一道考查数学运算素养的高三试题分析［J］.中学数学研究，2023（07）：60-61.

［2］徐兴涛.例谈2022年高考数学中圆锥曲线之对称问题［J］.数理天地（高中版），2022（24）：18-20.

［3］张奇凤，林运来，章海辉.圆锥曲线中两直线斜率关系定值下的定点的统一性质［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2023（07）：35-38.