李代数sl（2，C）到四维单模的斜导子

易 扬 邵俊倩

（绥化学院信息工程学院 黑龙江绥化 152061）

在代数系统里，导子是满足Leibniz关系的线性映射[1]。近年来众多学者对导子及其应用作了进一步的探讨。导子的推广在环论、非关联代数、微分交换代数等领域占有重要地位[2]。早期人们主要研究三角导子、广义导子、斜导子，Chang和Demir等对广义斜导子进行了研究[3-5]。许多学者对素环和半素环上的偏斜导子进行了细致深刻的探讨。Fosner介绍了素环和半素环上对称斜3-导子的概念[6]。Chang将广义斜导子的定义推广到R的右Martindale 商环Q上[7]。Sandhu 等研究了素环上乘积导子、广义导子以及斜导子的一些性质[8-11]。易扬给出了斜导子的定义并刻画了李代数斜导子的结构[12]。本文将文献[13]中斜导子的定义由伴随模推广到了任意有限维模，并研究了李代数到其模的斜导子空间，得出了李代数到四维单模的斜导子空间是零维或四维的。

一、预备知识

设C是代数闭域，所有的向量空间都是在数域C上。设L为复数域C上有限维李代数，V为有限维L-模。本文约定，End(V)表示V上的线性变换全体，Hom(L,V)表示L到V的线性映射全体，AutL表示L的自同构全体。

定义1[14]设L是一个向量空间，其中定义了一个乘法运算(记为[⋅,⋅]，并称之为方括号积)：对任意的x,y∈L, 有[x,y]∈L,而且以下三个条件成立：

(1)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y],λ1,λ2∈C,x1,x2,y∈L

(2)[x,x]= 0,∀x∈L

(3)[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]= 0,∀x,y,z∈L

这时称L为一个李代数。

回忆李代数到伴随模的斜导子的定义。

定义2[12]设L为复数域C上有限维李代数，σ∈AutL,D∈End(L)。

若任意x,y∈L都满足

D([x,y])=[Dx,y]+[σ(x),Dy]

则称D为L的斜导子，也称为σ-导子。

下面将李代数到伴随模的斜导子的定义推广到任意有限维模。

定义3设L为复数域C上有限维李代数，V为L-模，D∈Hom(L,V),σ∈AutL。若对所有的x,y∈L，满足

则称D为李代数L到其模V的斜导子，也称为σ-模导子。

令Derσ(L,V)为L的所有σ-模导子构成的集合，注意到Derσ(L,V)对于线性变换的加法和数乘构成一个线性空间，将其称为L的σ-模导子空间。本文主要研究3 维单李代数sl(2,C)到四维单模的σ-模导子空间，其中σ为Aut(sl( 2,C))中任意元素。回忆sl(2,C)具有一组标准基h,e,f且

[h,e]= 2e,[h,f]=-2f,[e,f]=h

对于李代数sl(2,C),对∀n∈Z+，存在唯一（在同构意义下）的n+ 1 维不可约模Vn，它具有一组基v0,v1,…,vn称为标准基及下列作用：

evi=i(n+ 1-i)vi-1

hvi=(n- 2i)vi

fvi=vi+1

其中v-1=vn+1= 0(参见文献[14]，定理7.2.1)。

二、李代数sl(2,C)到四维单模的斜导子

设A是C上行列式为1的二阶矩阵。设

σA:sl(2,C) →sl(2,C),X↦A-1XA，

根据文献[15]中的定理5，可知：Aut(sl(2,C))={σA|A是C上行列式为1的二阶矩阵}。

将二阶可逆矩阵分为以下几种情况讨论：

下面命题给出李代数sl(2,C)到其单模V3的斜导子空间。命题将分为1 ≤i≤5 和i= 6 两种情况来讨论。设D∈DerσAi(sl(2,C),Vn),1 ≤i≤6且

其中aj,bj,cj∈C,j= 0,1,…,n。

命题1sl(2,C)到单模V3的σAi-模导子空间是零维的，其中1 ≤i≤5。

证明 下面只证单模V3在自同构σA1的情形，其他情况可做类似证明。根据式(1)可得

根据不可约模Vn基的作用，当n= 3时,v4= 0,整理式(3)可得

整理式(4)可得

整理式(5)可得

整理式(6)可得

整理式(7)可得

整理式(8)可得

整理式(9)可得

整理式(10)可得

整理式(11)可得

通过计算，得到解

命题得证。

下面命题给出当i= 6 时，李代数sl(2,C)到其单模V3的斜导子空间。

命题2sl(2,C)到单模V3的σA6-模导子空间是四维的。

证明 根据式(2)，对于单模V3，整理式(1)可得

根据不可约模Vn基的作用，当n= 3时,v4= 0,整理式(12)可得

整理式(13)可得

通过计算，得到解如下

得到sl(2,C)到V3的σA6-模导子空间都是四维的。

综上，命题1和命题2证明了sl(2,C)到单模V3的σAi-模导子空间是零维或四维的，1 ≤i ≤6。

三、结束语

本文首先将李代数到伴随模斜导子的定义推广到任意有限维模，其次构造了李代数sl(2,C)到其单模的斜导子空间，最后证明了李代数sl(2,C)到单模V3的模导子空间是零维或四维的。后续可将模导子空间的算法进行推广，为后续对李代数到高维模导子空间的研究以及将来进一步分析量子空间中单（双）旋量子系统的可控性理论打下坚实的理论依据。