拟常曲率黎曼流形中的2-调和子流形

李明图，裴瑞昌

按EELLS 等在文献［1］中的观点，黎曼流形间2−调和的等距浸入是极小浸入的推广.设f：Mn→Nn+p是等距浸入，若f是一个2−调和映照，则称Mn是Nn+p的2−调和子流形.文献［2］对2−调和映照作了深入的研究，给出2−调和子流形所满足的条件，并证明对于n+p维单位球面Sn+p(1)中具有平行平均曲率的n维2−调和子流形Mn，当Mn的第二基本形式模长的平方σ满足σ

近年来，对于2−调和子流形的研究已有很多结果［3−9］.现用记号Γ(TM)表示Mn上的全体光滑切向量场作成的集合，本文在ξ∈Γ(TM)的假设下，考虑拟常曲率黎曼流形中的2−调和子流形，证明这类子流形是极小子流形的一个拼挤定理，推广了文献［2］中的结论.另外，当余维数p=1 时，进一步考虑这类2−调和超曲面是极小超曲面的情形，得到更为精细的结果.

1 准备工作

文中约定指标的变化范围如下：

设Nn+p是n+p维完备单连通的黎曼流形，Mn是其n维子流形.

定义1［10］若n+p维完备黎曼流形Nn+p的黎曼曲率张量的分量为如下形式：

则称Nn+p为拟常曲率黎曼流形.

式 中：g表 示Nn+p上的黎曼度量，a，b为Nn+p上的C∞−函数，ξ={ξA}是一个单位向量函数.

特别地，当a=1 且b=0 时，Nn+p是n+p维单位球面Sn+p(1).

在Nn+p上选取标准正交标架场{e1，e2，…，en+p}，使得限制在Mn上时，{e1，e2，…，en}与Mn相 切，{en+1，en+2，…，en+p}是Mn的法向量.于是，拟常曲率黎曼流形Nn+p的黎曼曲率张量的分量可以取如下形式：

于是，由文献［11］可知，单位向量ξ可以分解为：

设{ω1，ω2，…，ωn+p}是{e1，e2，…，en+p}的对偶标架场，则Mn的结构方程为：

式中：Rijkl和Rαβkl分别表示Mn的黎曼曲率张量分量和法曲率张量分量.

若Mn极小，则有H=0，从而有

由文献［2］可知，极小子流形一定是2−调和子流形，2−调和子流形却不一定是极小子流形.设Mn是Nn+p中的2−调和子流形，则有如下引理1 成立.

引理1［2］Mn是Nn+p中的2−调和子流形的充要条件为：

2 主要结果

定理1 设Mn是拟常曲率黎曼流形Nn+p中具有平行平均曲率的n维2−调和子流形，ξ∈Γ(TM)，若σ

证明 由Mn具有平行平均曲率可知，平均曲率H必为常数［12］.从而∀α，k，有

代入式（5）中的第二式，有

进而利用柯西不等式，有

由式（6）、式（7）和式（9）得到

若σ

定理2 设Mn是拟常曲率黎曼流形Nn+1中具有平行平均曲率的n维2−调和超曲面，ξ∈Γ(TM)，若σ≠an+b，则Mn必 为Nn+1中的极小超曲面.

证明 当余维数p=1 时，引理1 中的指标α与β都只能取n+1.省略上标n+1，由式（5）得到

由于Mn具有平行平均曲率，易知H为常数，从而

代入式（10），利用式（10）中的第二式，可得

由于σ≠an+b，因此只能是H=0，故Mn为Nn+1中的极小超曲面.

3 结语

当外围空间Nn+p的切向量丛限制在子流形Mn上时，可以将其理解为Mn的切向量丛与法向量丛的直和.本文利用Nn+p上的标准正交标架场对单位向量ξ作了分解，在ξ与Mn相切时，利用引理1 得到了定理1 和定理2.