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拟常曲率黎曼流形中的2-调和子流形

2024-04-06李明图裴瑞昌

通化师范学院学报 2024年2期
关键词:单位向量黎曼流形

李明图,裴瑞昌

按EELLS 等在文献[1]中的观点,黎曼流形间2−调和的等距浸入是极小浸入的推广.设f:Mn→Nn+p是等距浸入,若f是一个2−调和映照,则称Mn是Nn+p的2−调和子流形.文献[2]对2−调和映照作了深入的研究,给出2−调和子流形所满足的条件,并证明对于n+p维单位球面Sn+p(1)中具有平行平均曲率的n维2−调和子流形Mn,当Mn的第二基本形式模长的平方σ满足σ

近年来,对于2−调和子流形的研究已有很多结果[3−9].现用记号Γ(TM)表示Mn上的全体光滑切向量场作成的集合,本文在ξ∈Γ(TM)的假设下,考虑拟常曲率黎曼流形中的2−调和子流形,证明这类子流形是极小子流形的一个拼挤定理,推广了文献[2]中的结论.另外,当余维数p=1 时,进一步考虑这类2−调和超曲面是极小超曲面的情形,得到更为精细的结果.

1 准备工作

文中约定指标的变化范围如下:

设Nn+p是n+p维完备单连通的黎曼流形,Mn是其n维子流形.

定义1[10]若n+p维完备黎曼流形Nn+p的黎曼曲率张量的分量为如下形式:

则称Nn+p为拟常曲率黎曼流形.

式 中:g表 示Nn+p上的黎曼度量,a,b为Nn+p上的C∞−函数,ξ={ξA}是一个单位向量函数.

特别地,当a=1 且b=0 时,Nn+p是n+p维单位球面Sn+p(1).

在Nn+p上选取标准正交标架场{e1,e2,…,en+p},使得限制在Mn上时,{e1,e2,…,en}与Mn相 切,{en+1,en+2,…,en+p}是Mn的法向量.于是,拟常曲率黎曼流形Nn+p的黎曼曲率张量的分量可以取如下形式:

于是,由文献[11]可知,单位向量ξ可以分解为:

设{ω1,ω2,…,ωn+p}是{e1,e2,…,en+p}的对偶标架场,则Mn的结构方程为:

式中:Rijkl和Rαβkl分别表示Mn的黎曼曲率张量分量和法曲率张量分量.

若Mn极小,则有H=0,从而有

由文献[2]可知,极小子流形一定是2−调和子流形,2−调和子流形却不一定是极小子流形.设Mn是Nn+p中的2−调和子流形,则有如下引理1 成立.

引理1[2]Mn是Nn+p中的2−调和子流形的充要条件为:

2 主要结果

定理1 设Mn是拟常曲率黎曼流形Nn+p中具有平行平均曲率的n维2−调和子流形,ξ∈Γ(TM),若σ

证明 由Mn具有平行平均曲率可知,平均曲率H必为常数[12].从而∀α,k,有

代入式(5)中的第二式,有

进而利用柯西不等式,有

由式(6)、式(7)和式(9)得到

若σ

定理2 设Mn是拟常曲率黎曼流形Nn+1中具有平行平均曲率的n维2−调和超曲面,ξ∈Γ(TM),若σ≠an+b,则Mn必 为Nn+1中的极小超曲面.

证明 当余维数p=1 时,引理1 中的指标α与β都只能取n+1.省略上标n+1,由式(5)得到

由于Mn具有平行平均曲率,易知H为常数,从而

代入式(10),利用式(10)中的第二式,可得

由于σ≠an+b,因此只能是H=0,故Mn为Nn+1中的极小超曲面.

3 结语

当外围空间Nn+p的切向量丛限制在子流形Mn上时,可以将其理解为Mn的切向量丛与法向量丛的直和.本文利用Nn+p上的标准正交标架场对单位向量ξ作了分解,在ξ与Mn相切时,利用引理1 得到了定理1 和定理2.

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