NSD 随机阵列最大加权和的矩收敛性及应用

何其慧

由于统计模型中很多估计量都是随机变量加权和的形式，因此越来越多的学者开始重视随机变量加权和的研究.近年来很多学者都对加权和的收敛性展开了研究，且取得了一系列的成果.如文献［1−3］在独立同分布的假设下建立了的一些强收敛性.文献［4］在负相协的假设下建立了加权和的渐近性质.文献［5］在独立假设下建立了加权和的弱收敛性并应用于EV 回归模型的渐近性质的研究中.文献［6］利用AANA 随机变量的矩不等式得到了AANA 序列加权和的矩收敛性，即

式中：{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1} 需满足

此外，文献［6］对AANA 序列控制系数的限制较为严格且难以验证.本文基于NSD 的假设，在更弱的条件下得到较文献［6］更强的结果.另外，基于所建立的矩收敛性的结果，进一步研究了此误差下非参数回归模型中估计量的矩相合性和弱相合性.

本文引用如下一些记号：C>0 为一与n无关的常数，a+=aI(a≥0)且a−=−aI(a<0).

1 预备工作

回顾一些基本概念.首先是由文献［7］提出的关于NA 随机变量的概念.

定义1 如果对{ 1，2，…，n}的任意非空不交子集A与B都有

式中：f1与f2同时对各变元单调非降或非增，则称随机序列{Xi，1 ≤i≤n} 是NA.此外，如果对∀n≥2，X1，X2，…，Xn都是NA，则称随机序列{Xn，n≥1} 是NA.

基于超可加函数的概念，文献［8］提出了NSD 随机变量的概念且证明了NA 随机变量都是NSD.

定义2 随机向量(X1，X2，…，Xn) 称 为NSD，如果

式中：X1*，X2*，…，Xn*是相互独立的随机变量，且对任意的1 ≤i≤n，Xi*都与Xi有相同的分布，ϕ是使得上式期望存在的超可加函数.

关于NSD 随机变量的一些最新结果，可参见文献［9−12］.为证明本文的主要结果，需要引入如下引理.

引理1［8］设随机阵列{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}为NSD.若{fni(⋅)，1 ≤i≤n，n≥1} 为单调非降（或非增）函数阵列，那么{fni(Xni)，1 ≤i≤n，n≥1}仍为NSD.

引理2［8］令{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值为0 的NSD 随机阵列.假设存在q≥2，使得对所有的1 ≤i≤n，n≥1 都有E|Xni|q<∞，则

由引理2 和文献［13］中定理2.1 的方法，可得如下关于NSD 随机阵列的矩不等式.

引理3 假设{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值为0 的NSD 随机阵列且存在1

2 主要结果

定理1 令10，{Xni，1 ≤i≤n，n≥1} 是一均值为 0 的 NSD 随机阵列且假设{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1}是一定义在紧集A上的函数阵列，且满足

证明 由于ani(zj)=(ani(zj))+−(ani(zj))−，不失一般性，假设对一切1 ≤i，j≤n，n≥1，都有ani(zj)≥0 和对任意的t>0，定义

由ε>0 的任意性，为证明式（5）成立，只需证明In1→0 和In2→0 成立.由的定义可知故由Cr不等式和式（3）可得

下面证明In1→0.

取q满足p

由In2→0 的证明可知In12→0.最后，对于In11，同样由式（3）和In2→0 的证明可得

定理2 令p≥2，α>0，{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是一均值为0的NSD随机阵列且∞.假设{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1} 是一定义在紧集A上的函数阵列，且满足

则依然有式（4）成立.

证明 由式（7）易知

由定理1 的证明可知，为证明定理2，只需在p≥2 的条件下证明In1→0 即可.

取q满足q>p，由引理2 可得

对比文献［6］的结果，定理1 和定理2 有如下改进：①随机控制的假设在本文中不再需要.②式（2）被减弱到式（3）和式（7）.③式（1）中关于随机序列加权部分和的结果被改进到式（4）中随机阵列的最大值加权和的结果.因此，定理1 和定理2 改进并推广了文献［6］中相应的结果.

下面给出主要结果在回归模型中的一个应用.考虑如下非参数回归模型：

式中：xni∈A是固定点列，回归函数g定义在A上但未知，εni，1 ≤i≤n，n≥1 为随机误差.

考虑如下关于g的加权估计：

式中：权函数Wni(x)满足以下三个条件：

上述加权估计最早由文献［14］提出，随后许多学者对其进行了研究.具体可参考文献［15−18］.基于前面的主要结果，进一步建立了估计量gn(x)的矩相合性和弱相合性.

定理3 假设条件①～③成立.令{εni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值为0 的NSD 随机阵列，满足，其中p>1.如果o(1)，则对g(x)的所有连续点x都有

类似文献［11］中式（3.7）的证明，可以由条件①～③推出

对任意1 ≤j≤n，取ani(zj)=Wni(x)，由条件②可得，当1

从而式（3）和式（7）成立.故在定理1 和定理2中取Xni=εni，式（8）得证.

3 结语

本文利用适当的截尾方法，结合NSD 随机阵列的Rosenthal 型不等式，得到随机阵列加权和的矩收敛性，推广并且改进了相关文献的结果.作为主要结果的应用，本文进一步研究了非参数回归模型加权估计量的矩相合性和弱相合性.