探究新情境中的离心率问题

徐凡炜

《中国高考评价体系说明》指出，在试题命制层面，进一步强调情境化设计.试题情境是实现考查内容和考查要求的载体，学生解决问题时，需要在理解与提取、分析与推理、归纳与表达的基础上，寻求解决问题的途径.本文以三类情境试题为例进行剖析，旨在引导学生合理解读试题情境，联想求解方法，探索离心率问题的解题规律.

1.課程学习情境

分析：本题情境源于“双曲线”和“解三角形”的课程学习，创设的试题情境属于学习关联情境.考查了双曲线的定义、余弦定理及向量的坐标运算等必备知识，考查了逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力等关键能力，考查了直观想象、数学运算等核心素养.

评析：双曲线过焦点的三角形的问题解决的关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于a，b，c的齐次方程，从而得解.

变式 （2018年高考全国卷Ⅱ·文11）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（  ）.

2.探究创新情境

分析：本题以“椭圆的标准方程与简单的几何性质”为试题情境，涉及的知识源于学生已有的学习体验，其中椭圆定义的表述方式源于学生的学习储备，故所创设的试题情境属于综合联想情境.考查了椭圆的定义、向量的数量积等必备知识，考查了逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力等关键能力，考查了直观想象、数学运算等核心素养.

评析：本题常规方法是设P，Q两点坐标，由这两点坐标的关系结合斜率公式、椭圆的标准方程，将y1用x1表示，从而得到椭圆基本量间的关系，求得离心率.若本题能利用椭圆的第三定义可使得运算简化.

变式 已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足PA=mPF，若m取最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（  ）.

3.生活实践情境

例3 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图1，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若∠PFB=120°，∠FBC=90°，则该双曲线的离心率等于（  ）.

分析：本题选取的情境依托圆锥曲线具有的光学性质，考查双曲线的标准方程与简单的几何性质，由于两者的关联不明显，创设的试题情境属于拓展迁移情境，相应的情境活动表明试题在基础性和应用性的层次上考查了理性思维.考查了双曲线的定义、简单的几何性质等必备知识，考查了运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力等关键能力，考查了数学建模、直观想象、数学运算等核心素养.

解析：在平面直角坐标系中，如图2， 反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点F1，由∠PFB=120°，∠FBC=90°，可得∠BFF1=60°，∠FBF1=90°.

记双曲线的焦距为2c，长轴长为2a，在直

由以上案例可以发现从不同角度提取、剖析、解读试题情境，将有不同的思路，可以从不同角度去解决问题.因此，在解题教学中，教师要善于引导学生根据试题的情境，深度理解情境中的多元信息，引导学生从数或形或转化等角度去解读，在一题多解中去总结解题活动经验.在此基础上，对情境进行变式，在变的过程中，去发现归纳反思其中蕴含的知识、能力、思想的不变性，进而揭示问题的本质.如果做到这样，将充分激发学生的思维，发展学生的数学核心素养.