图形直观引导下函数问题的分析与解决

周裕燕

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，它本身具备“形”的因素.图形能很好地直观呈现数学信息，能让一些比较隐蔽的数学结论和数学思想显现出来.很多数学问题可以通过挖掘其中的“形”，把复杂的数学问题变得简明、形象，使学生能简单、清晰地找到解决问题的思路并预测结果，避免复杂的计算和推理.

函数问题是高考重要的考查题型，不仅类型丰富，而且方法灵活，是考查学生学科核心素养和关键能力的重要载体.此类问题由于解题思路不易寻得，且求解过程较为繁琐，是学生分析与求解的难点问题. 函数具备明显的“形”的特征，本文以函数中的切线、零点及偏移问题为例，阐述如果借助图形，将复杂的函数问题“直观化”，借助图形引导解题思路，揭示问题本质，并通过逻辑论证，实现问题解决.

1.运用图形直观，分析和解决函数的切线问题

例1 若过点（a，b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（  ）.

A．eb

B．ea

C．0

D．0

分析：当x→－∞时，曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0，当x→+∞时，曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于+∞.结合图象（图1）可知，两切线的交点R（a，b）应该在x轴上方，且在曲线y=ex的下方，故0

评注：若切点为（x0，ex0），求出切线方程y－ex0=ex0（x－x0），由过点（a，b）得，b－ex0=ex0（a－x0），转化为关于x0的方程b－ex0=ex0（a－x0）有两解进行判断，运算较为繁琐.利用图形直观分析问题，只需判断两条切线的交点（a，b）在x轴上方且在曲线y=ex下方即可解决问题.既体现了借助函数的图形分析和解决问题的优越性，又有助于提高直观想象素养.

2.运用图形直观，分析和解决函数的零点（方程的根）问题

例2 设函数f（x）是定义在R 上的单调函数，且x∈R，f（f（x）－ex）=e+1.若函数g（x）=f（x）－k（x+2）有两个零点，则k的取值范围是（  ）.

A．（e，+∞） B．（1，e］ C．（1，+∞） D．（0，1）

析解：由题意得f（x）－ex为常数，设f（x）－ex=t，f（x）=ex+t，由函数y=f（x）为增函数，及f（t）=et+t=e+1，得t=1，故f（x）=ex+1.函数y=g（x）有两个零点等价于函数y=f（x）与y=k（x+2）的图象有两个不同的交点，画出图象（图2），由图形可直观看出，直线y=k（x+2）与曲线y=f（x）相切时的位置是关键.可求得经过（－2，0）的曲线y=f（x）的切线的斜率k=1.由图象可知，要使y=f（x）与y=k（x+2）的图象有两个不同的交点，k的取值范围为（1，+∞）.故选C.

评注：本题求得函数y=f（x）的解析式，把y=g（x）有两个零点转化为函数y=f（x）与y=k（x+2）的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）的图象是常见、确定的，而直线y=k（x+2）过定点（－2，0）.因此，通过图象分析，确定关键（相切）位置，通过适当计算即可解决问题，从而避免繁琐的数学运算，提高解题效率.

（2）要证f（x）=sinx－ln（1+x）有两个零点，可以转图3化为证明y=sinx与y=ln（1+x）的图象有两个公共点，画出两个函数的图象（图3），可以直观判断两个函数的图象有两个交点P1（x1，y1），P2（x2，y2），不妨设x1

评注：求解（2）问，先通过画图分析，可以确定函数f（x）有且仅有两个零点，及零点所在的大致区域，这是突破分类难点的关键，也是解决本题的关键.明确分类后，进而分区域逐一证明，在证明的过程中还需要在图形的直观引导下进行逻辑推理论证.用图形直观的方法可以更加简单清晰地找到解决思路及预测结果，并引导解题的推理过程.

3.运用图形直观，分析和解决函数的偏移问题

例4 已知函数f（x）=x（1－lnx）.

（1）讨论f（x）的单调性；

析解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．f′x=－lnx，当x=1时，f′（x）=0；当x∈（0，1）时f′（x）>0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）<0．故f（x）在区间（0，1］上为增函数，在区间［1，+∞）上为减函数.

已知条件转化为m（1－lnm）=n（1－lnn），图4即f（m）=f（n）.将要证不等式转换为22．借助f（x）的大致图象（图4）可知，极值点偏向m.要证m+n>2，只需证n>2－m，由于n>2－m>1，由f（x）在区间［1，+∞）内为减函数，只需证f（n）2．接着再证m+n

评注：本题（2）小题通过画图，可以直观发现m，nm2，确定极值点偏向m，进而发现极值点的左右两侧，图象变化趋势.结合函数图象特征，引导解题思路，并通过构造相关函数推理论证，较为简便地解决问题.本题是极值点偏移问题，实质上是函数中非轴对称的问题，由于其图象的特殊性，可以把m（或n）通过直线x=1对称，再通过函数的单调性解决此类问题.

大致图象（图5）.欲证x1+x2>2，只需证x2>2－x1.由于x2>2－x1>1，因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以只需证f（x2）

反映了x=1更偏向x1的图形特征.因此，本题通过数形结合分析问题，把问题归为函数偏移问题，可采用例4的解题方法较为简便地解决本题.

由上述实例分析可见，图形可以为分析和解决函数问题提供重要的直观基础和视觉支撑.在数学解题教学中，常常可以借助图形直观，将复杂问题简单化、抽象问题具体化.利用图形描述分析问题的思维活动，是课堂开展思维活动、培养学生思维品质的重要形式之一．在数学问题解题教学过程中，教师应注重渗透数形结合的思想方法，利用好图形直观的手段与方法，帮助学生直观地寻找解决问题的思路，培养学生识图、画图与析图的能力，提高用图意识，促进解题能力的提升和直观想象的生成.