对一道二元函数最值问题求解的多视角探究

王东海

1 考题呈现

（2023届高三武汉市重点高中4月联考第16题）  已知正实数x，y满足xy2（x+y）=9，则2x+y的最小值为    .

分析：本题是二元方程约束条件下的二元目标函数最值问题，试题简洁、优美，设有陷阱并有一定的难度，呈现出一定的综合性与选拔性，需要较高的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.可以通过均值不等式法，或消参减元法，也可采取数形结合的方法来处理.

2 解法探究

视角1 观察到约束条件为四次式，故考虑对约束条件进行降次，然后用基本不等式法处理.

视角2 如果将约束条件换个角度配凑，也能凑成可以使用均值不等式的式子.

视角3 对于约束条件下的目标函数最值问题，還可设目标函数为k，进而设法去求k的最值.

视角4 除了将约束条件降幂思路外，我们也可以对目标函数升幂来处理.

视角5 考虑2x+y=x+（x+y），而约束条件中也有同样的部分，故可以双换元来处理.

视角6 对于二元约束条件，我们可以用一个变量表示另一个，从而达到消参减元的目的.

视角7 对于解析1、2配凑法往往较难，那么可以考虑用待定系数法可以很快实现配凑.

视角8 将2x+y设为S，则可看成一条曲线，而约束条件也看成曲线，故考虑数形结合解决.

3  命题背景分析

拉格朗日乘数法的优点是：一是把目标函数和等式约束统一到一个拉格朗日函数中；二是将条件最值问题转化为无条件最值问题.

应用拉格朗日乘数法解答考题如下：

4 高考溯源

题1 （2022年全国Ⅱ卷12题）若实数x，y满足x2+y2－xy=1，则（  ）.

A. x+y≤1  B.x+y≥－2

C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1

题2 （2020年江苏高考）已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），则x2+y2的最小值为     .