2023年新高考Ⅱ卷第21题的推广探究

邓捷敏 童继稀

本文通过对2023年新高考Ⅱ卷中的第21题，即解析几何大题的分析，将试题结论推广到一般情形，并类比、归纳与推理，将结论拓展到椭圆与圆中，从而得到有心圆锥曲线的一组统一性质．

一、试题呈现与反思

本题根据解析几何研究的两个基本问题来进行设计，即第（1）问是根据条件求曲线方程，第（2）问是根据曲线方程来研究性质．有趣的是两条直线的交点P在垂直于x轴的定直线上，从而引发我们产生以下疑问：

问题1 为什么题意中强调直线MN与双曲线相交于左支呢？如果相交于两支，点P是否还在定直线上？

问题2 直线MN可否过双曲线焦点所在轴上的任意一定点？

问题3 试题中的结论在一般的双曲线中是否也成立？该结论的逆命题是否成立？

问题4 在其他圆锥曲线中是否也有类似结论？

以下对这4个疑问进行综合探究．

二、结论推广与拓展

将问题1、问题2与问题3放在一起考虑，经探究，可得如下结论：

当双曲线焦点和点D在y轴上时，有相同结论如下：

若将性质1的条件与结论互换，即逆命题也成立．

性质2 已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是定直线x=m上的动点（m≠0，且m≠±a，P的纵坐标yP≠0，且yP≠±ba（m±a））．直线A1P与C的另一交点为M，

将性质1类比到焦点在x轴上的椭圆中时，可得如下3个类似的结论：

当椭圆焦点和点D在y轴上时，有相同結论如下：

令性质3中的a=b，从而得到圆中的一个类似结论：

以上性质的证明与性质1、性质2类似，读者可自行证明．

三、结语

本文在类比、归纳与推理的研究过程中，对圆锥曲线的性质进行推广与拓展，得到了一般性的结论．类比、归纳与推理是研究数学问题的常见方法，结论推广其实就是类比和归纳的过程，也是数学抽象素养的落实过程．《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》指出，“数学抽象素养的育人价值在于通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验”［1］．如果能把这种活动经验运用在高考复习备考中，让学生体验和经历已知数学命题的推广过程，那么学生就能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题，自然也就能达到提升高考复习备考效果的目的．

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］童继稀，周威.一道高考题中圆锥曲线切割线的一组性质探究［J］.中学数学杂志，2022（09）：47-51.

［3］童继稀.2022年新高考Ⅱ卷第10题的推广探究［J］.中学数学研究（华南师大），2023（07）：6-8.