一个数学家如何思考“适者生存”

陈洋

图/本刊记者 梁辰

该表扬谁？

2024年1月2日，北京一所创新教育学校的六年级教室里，41岁的罗博深开始了他的即兴课堂。这位卡内基梅隆大学数学系终身教授、美国前奥数队总教练热衷挑战和创新。一如往常，没有任何课前准备。他计划现场向学生们收集问题，由此拓展为一堂40分钟的集体头脑风暴。

可邀请发出，一时无人响应。罗博深并不意外，这不是他首次到访中国学校。新的对策很快提出，“如果真的没有问题，我想玩个游戏。”这个班有二十来名学生，罗博深用粉笔写下9个数字，分别是1到9，随后将学生平分为两组。游戏规定，每组交替选择一个数，每个数只能选一次。若一组选择的数字组合中有3个之和为15，则该组获胜。

气氛很快活跃起来。一开始，大家选择数字还比较随意，而当组合里的数字逐渐增多，双方的应对策略便从积极争取己方胜利转为被动地封堵对方。游戏以平局告终。

第二回合，小组间的讨论愈发热烈，很多人都在写写画画，在选数时也更犹豫了，希望尽早争取那些胜算更大的数字。可由于需要考虑的情况很多，加上没有太明确的策略，游戏推进得很缓慢。最终，双方依然在彼此的封堵中战平。

孩子们嚷着“再来一局”，但课堂时间有限，罗博深不得不暂停。游戏是跳板，他希望展示一种不一样的思考和解决问题的方式。白板上出现了一个九宫格。在罗博深的引导下，孩子们很快填满了表格，使得每行、每列及对角线的和均为15。这样便获得了一个自动选数的工具。游戏策略一目了然。

开课前的几分钟，罗博深一直在浏览走廊里的各种教学主题展。在无法掌握不同国家不同学校的数学学习进度和教学风格的情况下，他会靠这种方式来获取信息，高效且直观。上述游戏的灵感正是源自墙壁上张贴的数独练习。

“我很喜欢这个游戏，因为它需要大家聚在一起，一直思前想后。如果具备数学思维，游戏过程中那些繁复的计算完全可以简化。数学可以帮助你成为一个善于分析和解决问题的人，这会给你的生活带来很多便利。”罗博深总结道。

游戏的揭秘环节在高低起伏的“哦”声中结束，没人意识到课堂已接近尾声。还余下几分钟，罗博深再度尝试收集问题。这次，几乎是话音刚落，问题就来了。一名男生好奇“开根号”的概念。这是六年级课程尚未涉及的内容。

“啊？根号是什么东西？”一个女生大声问道。

“一个数乘以它自己，如果把得到的积开根号，就等于这个数。比如2×2=4，那√4=2。”

那个女生一下反应过来，“那√9就是3！”

“对！”罗博深迅速回应道。

“我太聪明了吧！”女孩眼里闪着光。

进一步，罗博深开始解释“根号”在日常生活中的运用，“比如知道一个正方形的面积，我们就可以通过开根号来求它的边长。又或者大家分东西，每人持有的数量相同，且这个数量和人数一样，也可以开根号。”接着，他抛出新的疑问，“如果这个数很大，我们该怎么开根号呢？假设一个正方形的面积是324，我们要怎么计算边长？”

“16。”教室靠后的位置轻轻飘过一个声音，来自一个慕名前来旁听的低年级学生。开课前，送他来的老师曾给授课班的班主任打过招呼：这个孩子正在学习奥数。

“你怎么知道？”几个邻座的男生嘀咕着，投来艳羡的目光。而讲台附近，罗博深未曾停留，仍在引导大家继续思考。

课后，该校组织了数学教学交流活动。在回答关于“课堂如何培养学生数学思维”的问题时，罗博深主动提及了他刚才对两种回答的不同反应。

“那個脱口而出答案的孩子确实很厉害，但作为老师，我们需要鼓励的不是那些能以最快速度给出答案的人，这样的学生或许只是一个超前学习者，我们不能因此判断他是不是真的喜欢思考陌生的问题。如果我听到他的答案，立马称赞‘真棒，你是最聪明的！容易给孩子和家长带来一种错觉，他们会认为最好提前学，这样上课时好像什么问题都会答，老师就会夸我。我不希望其他学生那么快地听到答案，我希望大家都能享受思考的过程。我更愿意鼓励那位女生是因为，当她接触到一个全新的知识后，她主动提出了一个新的问题，并且自己解决了那个问题。”

在卡内基梅隆大学，罗博深教授的课程之一是普特南数学竞赛（注：北美地区最权威的大学生数学竞赛）。与这堂小学公开课类似，他会准备一两道竞赛题，然后引导班级讨论，“每个学生的思考都会决定课堂走向，‘意料之外是最有趣的，而非只有老师单向输出，教授一些思维的套路。”

该模式能顺利运转，前提是学生们不惮于分享那些“还没通的思路（half big idea）”。这与老师在课堂细微处传递出的教学理念息息相关。“学生们提出任何解题想法，我都会写到黑板上。如果思路有问题，我也不会立即指出。我会等到其他同学对此存疑时，才带着大家一起分析。即便错了，大家也不会笑话那个敢于提出新思路的同学。因为我们需要这些想法让头脑动起来。”罗博深认为，这种教学方法的好处在于，学生不再只是被动地记住解题步骤，而是在不断提出和检验新想法的过程中，理解不同方法的原理和误区。

不过，要在中国践行这套理念，不仅要求教师自身提高对数学的理解深度和由此而来的应变水平，也考验着在既有的教育选拔机制下，以老师为终端之一的社会系统，要如何应对应试化和功利化的教育价值导向，如何处理教育评价和目标错位带来的压力。即便在北京这所以创新教育理念闻名的学校，老师们也有诸多无法摆脱的束缚。许多问题如鲠在喉。答案并非不明确，问题却仍在各种掣肘中被无视和固化。

在场的一位老师分享起自己不久前在咖啡馆的见闻。当时，她隔壁桌的一个小学生有道数学题不会做，家长反复讲了好几遍，孩子就是不明白。这位数学老师上前帮助，得知孩子在北京一所知名小学上五年级。“我问他面积到底是什么意思？乘法的本质含义是什么？他答不上来。他算过很多道面积题，但从未真正理解。这就是我们数学教育的一种普遍现状。”

“基因彩票”？

那么，又该如何衡量一位“数学神童”的教育建议在大众层面的可借鉴性呢？

这次中国行，罗博深另一个最常被问到的问题，便是如何看待天赋在数学学习中的作用。对很多焦虑的家长而言，天赋差异是最后一味苦涩的心理安慰剂。

从任何角度评价，罗家都称得上是对“基因彩票”的完美诠释。罗博深的父亲曾是新加坡高考状元，移居美国后在威斯康星大学麦迪逊分校任统计学专业教授，母亲毕业于新加坡大学（新加坡国立大学前身）数学系，移民美国前是新加坡一所高中的数学老师。罗博深高中时曾参加国际数学奥林匹克竞赛并摘下银牌。他的弟弟和妹妹学生时代也在全美奥数竞赛中成绩斐然，如今分别在哈佛和剑桥任教授。

罗博深并不认为“天赋”能解释一切。某种程度上，那位在咖啡厅里遭遇“灵魂发问”的五年级学生所陷入的数学学习困境，他并不陌生。

上世纪80年代，威斯康星州的华人数量还很少。担心无法适应移民生活，未来或许需要回到实行教育分流制度的新加坡，母亲很早就开始了对罗博深的数学启蒙。最初，他学习数学的方法很传统，就是“看例子然后做练习”。虽然并不排斥，但每次完成母亲布置的练习册后，他总有如释重负的感觉。

他还记得自己四年级的一段时间，有一个题型始终无法攻克。“我自认为学会了那个方法，但我并不真正理解为什么要那么做，所以当我想要套用那个方法解决一些似曾相识的题目时，总会犯错。”

直到五年级的一天，父亲给罗博深出了几道“很奇怪”的题目。当他发现连母亲都需要坐下来思考很久、需要与他一起讨论怎么解题时，“就觉得很好玩。”这是和以往“刷练习册”截然不同的解题体验。

自那以后，罗博深的数学训练转向初中数学竞赛题。这些题目常常需要思考半个多小时。每当他做题时，母亲都会跟他一起讨论，就像一个团队。如果实在没有头绪，母亲会参考答案给些提示，“那些提示不足以完全解决问题，但可以让我再想多一些。”

这些需要更深思考的“奇怪”题目让罗博深真正体会到数学的乐趣。“很多孩子做数学题靠的是记忆力。小时候背乘法口诀、三角形面积公式，稍大些背一元二次方程求根公式，到了高中，三角函数的公式能写满一张纸。如果一直靠背诵来学习数学，会越来越倦怠和吃力。相反，如果一个孩子从启蒙阶段就愿意一直尝试那些需要深度思考的题，而且每隔几秒或几分钟能有新的发现，会有益得多。”

这种思维训练方法在罗博深的三个子女身上得到了延续。孩子们的数学启蒙老师同样由他们的母亲担任，而罗博深从未一对一地教授过自己的孩子。这并非所谓“全职太太”的家庭分工使然，而是他不希望自己“国家奥数队总教练”的身份给初学数学的孩子带来压力。

罗博深的妻子Debbie毕业于加州理工学院地球物理专业，此前没有奥数经验，但她很注重在家营造一种思考数学的氛围。从大女儿Vivian一年级起，每天放学后Debbie都会陪着她花至少一个小时研究数学，就像当年罗博深的母亲陪着他一样。

Vivian曾向外滩教育回忆，自己刚开始解题时，也觉得数学好难，不太能体会到数学的魅力。Debbie会尝试各种办法，乐趣先行。比如刚接触“阶乘”时，讲到“4×3×2×1”，母亲并不急于让她计算结果，而是构建了四个小动物排队的场景来解释排序。随着时间推移，从与母亲探讨，再到独立解题，Vivian对数学的兴趣越来越浓。2019年，12岁的她获得了美国中学生数学竞赛MATHCOUNTS的州冠军，成为该竞赛史上首位女性州冠军获得者。

“来自父母的陪伴是很重要的。陪伴不是坐在旁边监督她，要求一道题反复做20遍，甚至不是简单地教，而是能让孩子时刻感觉到，虽然她面对的是很难的问题，但你会一直陪在左右，和她一起思考。尤其對于低年级的孩子，他们会需要更多的爱和支持。”罗博深认为，这正是优质的数学启蒙教育很难大规模展开的原因。

“努力其实根本是因为好玩，但很多孩子是被长久压抑的。如果父母太焦虑，没有正确的引导方式，也不具备深入思考问题的耐心和能力，反而一直逼着孩子刷题，或者粗暴地将孩子推给同样缺乏正确理念和方法的教育机构或老师，就会导致孩子体会不到思维锻炼的快乐。自己付出了很多，与同学的差距却越来越大，当然会厌烦数学。”罗博深说。

1996年，罗博深获得全美初中数学竞赛MATHCOUNTS的全国第三名，图为颁奖礼上与父亲的合影。图/受访者提供

美国心理学教授凯瑟琳·佩奇·哈登在《基因彩票》中写道，“智力、好奇心、积极性、自律，这些并不是作为一个人的神经系统的‘固有或‘天生的属性在真空中出现的。相反，它们是随着时间的推移而发展的，是儿童与他们生活中的人们之间相互作用的一部分。”

基因无法后天改变，但每颗种子都有不同的特质。如何尽力为种子提供一个有肥沃士壤、明媚阳光和充足水分的花园，让每株植物都有机会自由生长到属于它自己的最大高度，才是父母存在的意义。

罗博深的大女儿在2019年成为宾夕法尼亚州MATHCOUNTS比赛历史上第一位女性州冠军，图为州级比赛的颁奖礼。当天罗博深正在上海做公益讲座。图/受访者提供

黑洞和星星

2023年夏天，罗博深完成了新一轮全美巡讲——78个城市、112场演讲。为此，他有时需要睡在服务站一辆租来的车里。然而，一旦登上讲台，举起话筒，他便精力充沛得像个“吃了‘彩虹糖的四年级学生”——《华尔街日报》记者曾这样形容。

时隔半年，同样赶在新学期前，他开启了自己的亚洲巡讲。在中国，半个月内他去了广州、上海、杭州、北京、香港等八个城市。他时常处理工作到深夜，在通往下个城市的高铁上补觉，再马不停蹄地奔波于不同的学校和机构，每天完成至少两三场演讲、教学交流或直播，努力保证每晚四小时的睡眠。

受新冠疫情等因素影响，距离他上次来华已过去四年。罗博深的演讲主题不再局限于数学和数学教育，不再仅面向数学爱好者，而是延伸至更广泛的群体和议题。事实上，本文开头的那次公开课是他此行安排的唯一一堂数学课。

此前，他一直希望传递的观念是：生活是复杂的，且未必永远公平，数学能帮你想出最好的办法来解决问题；更好地学习数学、思考问题，也能更好地帮助他人和服务社会。四年间，世界愈发分化，巨变让人目不暇接，上述观念的后半句正变得愈发重要且紧迫。

2024年2月29日，埃隆·马斯克以违背创立协议为由起诉OpenAI及其CEO萨姆·奥尔特曼等人。马斯克认为，OpenAI违背了该公司最初“以最有可能惠及整个人类的方式推进数字智能”等承诺。起诉书中还提及了“Q*”模型。后者被外界认为是引发OpenAI此前夺权大战的导火索之一。

2023年底，路透社曾援引知情人士的消息称，“Q*”这款秘密研发中的下一代AI模型已经能够解决部分数学问题。需要严密逻辑推理的数学一直是生成式人工智能的发展前沿。“目前，生成式人工智能擅长通过统计预测下一个单词来进行写作和语言翻译，并且多次回答同一问题的答案可能会有很大差异。数学问题只有一个正确答案，如果人工智能能够征服数学问题，意味着人工智能拥有类似人类的更为强大的推理能力。”上述报道写道。

数学家罗博深第一次被AI解决数学问题的潜力所震撼是在一年前。2023年3月14日，OpenAI发布GPT-4。当晚，罗博深便给ChatGPT出了一道经典的数学竞赛题——把899分解质因数。如果用“试除”的方法，从2开始一个个试，会非常费时。意外的是，ChatGPT采用了一种非常巧妙的方法——899靠近900，900是30的平方，所以899就是30的平方减1，即30的平方减1的平方，由此可以得到899=31×29。在罗博深2023年的全美巡讲中，同样一道题曾被多次摆在人类面前。如果没有提示或者接触过奥数，大多数人都会选择更繁复的试除方法。

又测了一题后，罗博深没再继续。结论很清晰，如果是重复之前就做过很多次的事情，AI已经足够强大，并且仍在进化。影响是持续且深远的，并指向一些难以回避的问题：如果人类终将与超人类机器智能共存，作为人的价值和意义究竟是什么？如果世界是盘游戏，什么样的规则才能让全球七八十亿人共同生存下去？……

羅博深认为，要找到出口还是需要回归价值观。“世界不应该是竞技场，我们学习各种能力并非要击败他人，而是帮助我们不断想出新的方式，更好地理解和解决他人的痛点。无论技术怎么发展，能为社会创造多一点价值的人永远会有机会。这比教他们如何做出更多的数学题要重要得多。”

此行在北京的一场沙龙里，罗博深的对话嘉宾是一土教育联合创始人李一诺。活动举办前一日，日本刚刚遭遇了一场7.6级地震。当时，李一诺恰好在日本。地震在部分地区引发海啸，当地电视台呼吁民众撤离，采用了包括中文在内的多种语言播报。“播报中文版撤离公告的是一个日本人，或许是担心自己中文说得不好，口播时他还特意举着一张纸，上面用中文写着提醒撤离的通知。”与此形成对比的是，同时期国内某地方台主持人因发布“报应来了？”等不当言论而被停职。停职后，他在社交媒体上的粉丝数量反而陡增。

“国内我们一直说‘学好数理化，走遍天下都不怕，对教育的理解是非常实用主义的。但或许我们在国内教育中缺失的那些讨论反而更重要。没有正确的价值观，仅仅是数理化学得好未必是好事。”李一诺说道。

罗博深教授在为北京八中百万庄校区的学生演讲。图/本刊记者 梁辰

罗博深在中国巡讲的这半个月正值美国大学申请截止前夕。美国国际教育协会发布的《2023年门户开放报告（Open Doors 2023）》显示，虽然中国留美总人数和占比（27.4%）仍然位居各国第一，但截至2023年，中国留美人数已连续第三年出现下降。热度回落固然与经济、人口和政治等因素相关，但不少中国学生和家长也向罗博深感叹近年来“爬藤”愈发艰难。

不过作为深谙美国大学招生机制的教育者，罗博深认为许多学生被拒并非因为在考试成绩上没“卷”过，而在于美国名校看中的并非学生在某种固定格式的“清单”上打勾的能力。数次给优秀学生写过推荐信的罗博深知道，一个在招生官中普遍存在的共识是，学生成长过程中的“背景提升”和“升学包装”展现的是他们拥有的外在特权，而非内在品质和能力。

“我面试过很多分数超级高的高中生，他们花了大量时间去提高考试分数，眼里只有竞争，却鲜有对更广阔的世界以及人生意义的思考。”这被罗博深视作他奔波各地分享的动力之一。为此，他不在乎拒绝每小时四位数美金的私教邀请，“如果我只是帮一个人打败另一个人，这到底是不是价值？我帮助的这个人未来是不是会用这些知识去做一些好的事情，我并不清楚。我希望更大规模地帮助到更多人。我能看到，即便是同一个校区，小、初、高的孩子状态都有明显差异。年纪越小，孩子眼里的光越亮。如果我们能更早地播种，未来就能收获更多的恒星，而不是黑洞。”

在罗博深看来，黑洞和恒星都具有极强的引力，但黑洞是利用引力吞噬万物，任何靠近它的物体都无法逃脱；恒星则通过核聚变释放能量，为宇宙带来光明。“如果招生官无法从你的申请表中辨认出你是黑洞还是恒星，那可能就有问题了。”

并非所有学生都习惯或乐于展开这类思考。专门学习过一年即兴表演的罗博深喜欢在演讲中观察听众的眼神，并以此调整演讲的节奏和方向。一个事实是，大多数学生对于ChatGPT在解题上的巧妙表现都兴致盎然，甚至流露出毫不犹豫的技术乐观主义。可当演讲进入后半段，触及作为结论的价值观部分时，一些学生的眼神便开始涣散，有的还埋头赶起作业。

“每个地方都是这样，不只是学校的那些孩子。他们并不认为帮助别人有什么用。但也总有一些孩子的眼睛一直是亮着的。我的目标是找到并鼓励他们，让他们知道自己并不孤单，这是值得更多人思考和行动的问题。”

这当然需要更多的渠道和技巧。罗博深的另一个身份是社会企业家，创立了在线数学学习项目LIVE。项目会从全世界筛选那些具有恒星价值观的优秀高中生通过直播方式，为低年级学生提供数学思维训练。项目有严格的筛选标准，除数学竞赛成绩外，团队更看重的是申请者是否乐于与人沟通，是否乐意帮助他人。为了增强课堂的互动性和趣味性，项目还聘请了专业的表演艺术工作者在后台对小老师们的线上课堂表现提供实时的调整建议。

一个巧妙的共赢模式由此形成，“擅长数学思维的高中生锻炼了表达能力和情商，对数学感兴趣的孩子得到了有趣有效的思维训练，表演系的学生也能获得更多的就业选择。” 研究图论的罗博深认为，通过理解各方痛点，完全可以将不同的群体连接起来，他们彼此都能解决对方的痛点，形成一个不断运转的正向循环。“帮助别人和实现自我并不冲突。如果暂时是，或许只是你思考得不够。”

罗博深团队正在开发的另一个项目是一款在线数学游戏。与其他游戏类似，这款游戏也会在玩家ID后显示数字。但这个数字并非与答对题目数量挂钩的等级数，而是回答他人提出的数学问题后得到的赞数。罗博深把这种机制设置看作是一个数学证明的过程。“游戏机制会鼓励玩家帮助他人，建立相互陪伴的友谊。当然，它也能激发你学好数学。如果你不提升自己的能力，你也得不到更多的赞。”这是一个数学家从细微处影响社会的努力。

正如罗博深为此次巡讲设定的主题——“ChatGPT来袭，人类如何‘适者生存”，无论技术如何更迭，思想與创造的荒原始终存在，等待开垦。当那些复杂而沉重的问题无限逼近时，这些思考和行动或许会成为人类探寻答案的起点。

游戏策略演示步骤