基于概念再认知的高中数学解题教学

【摘 要】数学解题的本质是对数学概念的灵活运用，数学解题教学也并不仅仅满足于获得正确的答案，而是重在培养学生对数学概念的理解和应用能力。数学概念的复杂性和发展性决定了概念需要经历认知、再认知的过程。再认知是一种深层学习的过程，它不仅可以提高学生对概念的理解和掌握，而且可以使数学解题教学转化为数学探究活动，从而从根本上提升学生数学解题的能力。文章分析当前高中数学解题教学的现状，并提出基于概念再认知的数学解题教学的有效策略，以帮助教师有效化解传统数学解题教学面临的困境。

【关键词】再认知；数学概念；解题教学

解题是数学学习过程中不可或缺的环节，解题教学也是数学教学不可分割的部分。波利亚曾说过，数学的本质在于解决问题。李政道也认为，数学解题的过程就是一种发现、探究和创造的过程，通过解题能够培养学生的思维能力和创新能力，并且有助于培养乐观、自信的心态。尤其到了高三数学复习阶段，解题教学往往变成了课堂教学的常态。但对于数学解题教学，学术界一直存在争议。比如，关于数学解题教学是否应该遵循一定的标准化要求，或者应该因材施教、因人而异，很多学者持不同观点，有的认为数学解题教学需要适应每个学生的能力和需求，而有的则认为必须严格规范。又比如，传统观点认为，解题依赖于教师的技巧传授，学生就是解题技巧的接收者和传承者，而现代的数学解题教学则鼓励学生通过自主学习来发展自己的技能。不仅如此，在教学实践层面，广大一线教师对于数学解题教学也存在诸多困惑。比如，为什么采用同样的教学方法，最后的效果却大相径庭？为什么几天不解题，学生的解题水平就会退化，解题教学的效果持续时间为什么这么短？面对这些争议与困惑，笔者通过本文重新审视当前高中数学解题教学的现状，以期从中找到改进教学的突破口。

一、当前解题教学面临的困境

就题论题与以题论法是当前数学解题教学最常用的两种模式。就题论题所奉行的是“熟能生巧”的观点，即通过做大量的题目使学生熟练掌握解题“套路”，并期望学生能够把这些解题“套路”套用到相关题目中去。这种教学模式注重让学生理解和掌握每一道题目的解法，并且重点讲解每道题目的考点和解题技巧，强化学生对已学内容的记忆。就题论题在短时间内虽然可以有效提高学生的应试能力和解题速度，但容易使学生陷入“题海”，并且这种教学模式在培养学生的创新思维和创新能力上效果较差，容易使学生变成“机械式应试者”。

以题论法是以题目为载体进行解题思想方法传授的一种教学模式。在这种教学模式下，学生需要将课堂中学到的解题思路和方法与具体题目相结合，尝试应用这些方法来解决更为复杂的问题。同时，教师也会在解题中有意识地培养学生发现问题、解决问题的能力，这对于学生创新思维和数学应用能力的发展具有积极的意义。因此，相比就题论题教学模式的局限性，以题论法的教学模式则更受广大一线教师的认可。但在实际操作中，以题论法也面临解题方法泛滥、片面追求解题技巧等问题。比如，很多教师很喜欢一题多解，一道题目少则给出三四种方法，多则十几种方法，却很少考虑这些方法之间的联系与适用条件，以及到底有多少方法能被學生真正掌握。又比如，一些教师将以题论法异化为解题技巧的表演，各种“偏题”“怪题”一齐上阵，将大量二级结论与高等数学的观点直接下放，无形中增加了学生的学习负担。

事实上，不论是就题论题，还是以题论法，大家所关注和研究的对象都是“题”，都是围绕着讲题、做题来展开，本质上两者区别不大，无非是一个在“题海”中徘徊，另一个试图跳出“题海”上升到思想方法的层面，但又容易掉入“法海”的陷阱。因此，这种“以题为中心”的教学观容易使数学解题教学偏离正常的教学轨道。

二、概念是数学解题教学的根基

数学解题的本质是对数学概念的灵活运用，数学解题教学也并不仅仅满足于获得正确的答案，而是重在培养学生对数学概念的理解和应用能力。因此，概念才是数学的核心，是整个数学知识体系的构成要素。如果学生对概念的认识不够充分，那么数学学习就会陷入困境，解题充其量只是概念的衍生与应用。若没有概念作为基础，解题与解题教学就是无源之水，无本之木。李邦河院士就曾指出，数学根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也。概念是数学知识的基本单元，是用以描述和解释数学现象和关系的抽象实体。认识数学概念需要学生从各个角度理解概念的内涵与外延，把握概念之间的联系，从而构建完整的数学知识体系，在此基础上，学生才能在解题中灵活应用各种解题方法与技巧。

不仅如此，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》也指出：引导教学更加关注育人目的，更加注重培养学生核心素养，更加强调提高学生综合应用数学知识解决实际问题的能力，把握教学的深度和广度，为阶段性评价、学业水平测试和升学考试命题提供重要依据。2020年１月，教育部考试中心（现为教育部教育考试院）也发布了由“一核”“四层”“四翼”［1］组成的《中国高考评价体系》，高考的命题开始由“知识立意、能力立意评价”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合评价转变［2］。2021年２月，教育部在《关于做好2021年普通高校招生工作的通知》文件中指出：“要优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导减少死记硬背和‘机械刷题现象。”这就意味着“以题为中心”的解题教学可能不再适应新高考的要求，发展学生的数学关键能力才是数学解题教学的根本任务，而数学关键能力的根基其实也在于概念。例如，2022年高考数学全国Ⅰ卷的很多题目表面上是在考查学生的能力，而实际上还是要求学生对于概念的深入理解。

A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b

例2 （2022年新高考Ⅰ卷第20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

本题虽然考查的是学生数学运算能力，但据了解，学生的得分率普遍比较低，究其原因主要是平时只顾着做题，而忽视了对条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、随机事件的相互关系等概念的进一步理解。

因此，数学解题教学的定位不能只局限于解题，还应该关注对于数学概念的理解，只有对概念理解透彻才能对数学问题做出快速而准确的判断，并在洞悉问题本质的基础上提出解决问题的方案。

三、数学概念再认知的内涵

数学概念的发展本质上反映了人类认识数学的历程。在人类历史上，数学的发展不仅是求得一种能帮助人类认识自然、解决实际问题的工具，更重要的是，它反映了人类对于事物本质的认识和思考方式的改变。这种认识和思考方式的变化，也反映在数学概念的演变和发展中。比如，从古代初级的算术学习，到如今的复杂抽象的数论、代数、微积分、拓扑等学科，数学概念和理论的发展也伴随着人类认识水平的不断提高和升华。数学概念的发展实际上反映了人类的认识历程，它不仅是人类认识过程的一个外在表现，更是接纳、反思和推动人类认识和思考的一个重要途径和手段。正是基于这一历史相似性原理，学生对数学概念的认识也要遵循循序渐进，螺旋上升的规律。例如，初中从“变量的依赖关系”的角度让学生认识函数，到了高中，又从“对应关系”的角度再次让学生认识函数。又比如，在小学和初中把“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件”，而在高中随机事件的定义为“样本空间中满足某些条件的样本点构成的子集”。

数学概念的复杂性和发展性决定了概念需要经历认知、再认知的过程。再认知是一种深层学习的过程，它可以提高对概念的理解和掌握，进而推动数学学习的深入，具体包括以下三个方面。

第一，通过对概念的深入理解，进一步发掘和挖掘概念的内涵和外延。比如，在理解了任意角三角函数的定义后，可以进一步探究三角函数的单调性、周期性、对称性等性质，甚至把三角函数的这些性质迁移到一般的函数中，从而更深入地理解函数性质的本质。

第二，通过概念的扩展和推广，进一步应用和推动概念的发展。比如，在知道三角函数是刻画周期现象的重要模型后，可以将三角函数应用于生产生活等领域，例如，揭示潮汐现象与三角函数的关系等，从而实现以数学应用来推动三角函数概念的发展。

第三，通过概念的比较和联系，进一步深化对概念的理解。比如，在学习数列概念时，可以与函数概念进行比较，明确数列是一类特殊的函数，进而知道数列的通项公式相当于函数的解析式，用递推公式来表示数列相当于用抽象函数来表示函数，从而能够用函数的视角来认识数列。

再认知学习能让学生更深刻地领会数学概念的内涵和特点，使学生能够更好地应用数学知识解决实际问题，并且有助于提高学生数学思维能力和创新能力。

四、基于概念再認知的数学解题教学

1.选出有价值的性质与结论，确定教学主题

有价值的公式、性质与结论具有以下特点：一是与数学概念紧密相关；二是不同难度和类型的问题形式，能够帮助学生深入理解和掌握数学概念；三是与实际问题联系，帮助学生将数学概念与实际问题结合起来。这些性质与结论是开展数学概念再认知的有效载体。

2.创设真实的情境，再现概念的来龙去脉

随着教育研究的发展，教育要使学生学会“解决真实情境中的问题”已成共识。数学概念的高度抽象性决定了其只有置于一定的真实情境中，学生才有可能把握其所表征的事实细节，进而通过推理而形成深层理解［4］，从而更好地把握数学应用的实际意义，为后续的数学解题奠定理论基础。

3.合理选择研究视角，组织数学探究活动

在某种程度上，数学探究可以视为数学解题的高级形式之一，把“解题—讲题—练题”转化为数学探究活动也是基于概念再认知数学解题教学的基本诉求。数学探究所具备的挑战性可以驱动学生主动探索数学本质，主动发现问题并提出解决问题的方案。当然，数学探究的视角有很多，要根据教学要求与学生的真实水平进行合理选择。

4.在应用迁移中提升解题水平

当然，应用是解题教学中不可或缺的环节，有了概念再认知的铺垫，解题教学回归数学结论、性质的应用就更自然，即把所学的知识迁移到新的环境和挑战中，学生的表现也会更加得心应手。

如果学生对于切线不等式没有深入的认识，就很难把结论与要解决的问题联系起来，也就无法体会到数学中化归思想的魅力。

尽管从形式上看，考试可能只考解题，不会直接考概念，但毫无疑问掌握概念是解题的基础。尽管熟练的解题需要运用到大量的数学思想方法，但概念学习是孕育数学思想方法的沃土。因此，把对概念再认知作为解题教学的前提与重要组成部分，不仅是对传统的解题教学的补充和提升，更是在核心素养育人目标导向下赋予解题教学新的意蕴。

参考文献：

［1］安学保. 评价体系新实践 高考命题新突破：新高考Ⅰ卷数学试题评析［J］. 数学通报，2020（9）：52-55，63.

［2］史宁中，吕世虎，李淑文. 改革开放四十年来中国中学数学课程发展的历程及特点分析［J］. 数学教育学报，2021（1）：1-11.

［3］吕增锋. 数学解题教学不只是“解题”：由一次县优质课评比引发的思考［J］. 数学通讯，2021（12）：16-18.

［4］赵楠.大概念课程如何落地？：以加拿大不列颠哥伦比亚省的课程改革为例［J］. 现代教育技术，2020（11）：40-46.