对一道椭圆试题的解题反思

■安徽省安庆市洪汪宝名师工作室 洪汪宝

在平时的数学学习中,有些同学喜欢大量刷题,但数学成绩并不理想,而有些同学平时做题并不多,数学成绩却很好,对比发现,后者更喜欢问为什么。数学是一门思维很强的学科,同学们解数学题时一定要养成解题反思的习惯,不能就题论题。如何进行解题反思呢? 解题反思要思考什么? 下面结合一道具体的椭圆试题谈谈如何进行解题反思。

一、题目呈现

题目:在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点M在椭圆上,当△MF1F2的面积最大 时,∠F1MF2=120°,且 最 大 面 积 为2 3。

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)直线l:x=2 与椭圆C交于第一象限点N,A是第四象限的点且在椭圆C上,线段AB被直线l垂直平分,直线NB与椭圆C交于另一点D,求证:ON//AD。

分析:本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线与直线的位置关系等多个知识点,对同学们的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题等多种思维能力要求比较高,考查基础知识,同时考查基本技能与基本方法,考查待定系数法、坐标法等解题方法,同时考查数形结合思想、转化与化归思想等数学思想方法,基础性与综合性并举。

第一问是常规问题,结合图形分析发现点M位于短轴端点时,△MF1F2的面积最大,即可得到a,b,c之间的等量关系。第二问先根据题意,作出图形,要证ON//AD,只需证明两者的斜率相等即可。又点N的坐标(2,1)确定,直线ON的斜率等于,故只需证明直线AD的斜率为即可,第二问实际上是一道定值问题。

二、解题反思

2.1思考解法

解:(1)当△MF1F2的面积最大时,点M是椭圆短轴的端点。

评注:第二问的解法1 抓住直线ND与NA关于直线x=2对称,得到这两条直线的斜率互为相反数,将直线ND的方程与椭圆方程联立,借助韦达定理求出点D的坐标,即可求出点A的坐标,于是利用斜率公式即可求出直线AD的斜率,体会设而不求的解题思路。解法2直接设直线AD的方程,借助N,D,B三点共线得到向量关系,体会设而不求的解题思路。

2.2思考变式

条件中的直线x=2比较特殊,还有其他直线吗? 于是得到下面的变式。

变式:直线l:x=x0(0＜x0＜2 2)与椭圆C:交于第一象限点N,A是第四象限的点且在椭圆C上,线段AB被直线l垂直平分,直线NB与椭圆C交于另一点D,是否存在定直线l,使得ON//AD? 若存在,请求出该直线方程;若不存在,请说明理由。

解析:设N(x0,y0),则,即4y20-8=-x20。

所以存在定直线l:x=2,使得ON//AD。

评注:在以上推导过程中,发现直线存在,而且唯一,同时发现定值:kON·kAD=。于是进一步思考,是否蕴含一般结论呢?

2.3思考推广

推广:直线l:x=x0(0＜x0＜a)与椭圆)交于第一象限点N,A是第四象限的点且在椭圆C上,线段AB被直线l垂直平分,直线NB与椭圆C交于另一点D,是否存在定直线l,使得ON//AD? 若存在,请求出该直线方程;若不存在,请说明理由。

解析:设N(x0,y0),则,即a2y20-a2b2=-b2x20。

设直线ND:y=k(x-x0)+y0,即y=kx-kx0+y0,则NA:y=-kx+kx0+y0。

设D(x1,y1),A(x2,y2)。

2.4思考拓展

拓展1:直线l:x=x0(x0＞a)与双曲线交于第一象限点N,A是第四象限的点且在双曲线C上,线段AB被直线l垂直平分,直线NB与双曲线C交于另一点D,是否存在定直线l,使得ON//AD? 若存在,请求出该直线方程;若不存在,请说明理由。

拓展2:直线l:x=x0(x0＞0)与抛物线C:y2=2px(p＞0)交于第一象限点N,A是第四象限内一点且在抛物线C上,线段AB被直线l垂直平分,直线NB与抛物线C交于另一点D,是否存在定直线l,使得ON//AD? 若存在,请求出该直线方程;若不存在,请说明理由。

在以上推导过程中,使用的方法基本相同,推导的过程基本类似,虽然双曲线和抛物线中均没有类似椭圆的一般结论,但得到了斜率之间的关系,收获不小。所以同学们在解题过程中既要分析试题所考查的知识点、基本数学思想方法、基本能力,还要学会思考试题的多种解法,对其进行变式、推广、拓展等多个方面探究,长期坚持,一定会提升思维层次和思维质量,从而让我们的学习更轻松,对数学学习的兴趣和信心也更大。