先行组织促迁移,动点距离探最值

华南师范大学数学科学学院(510630) 黄雅萱 梁钰清

广州市白云区白云实验学校(510080) 黄诗韵

1 先行组织者

先行组织者由奥苏伯尔提出,是学习新知识材料时呈现一种起组织作用、抽象概括程度较高的材料;是把新内容与学生已有的知识联系起来,帮助学生组织要学习的材料.先行组织者分为陈述性与比较性,陈述性组织者主要通过定义和概括进行,用于较陌生的学习材料,即向学生呈现概括性水平高于新知的材料,让学生获得同化新知识的框架.比较性组织者主要通过类推进行,用于较熟悉的学习材料中,即当学生面对新的学习任务时,倘若其认知结构中已经具有了可以利用的同化新知识的适当观念,但原有观念不清晰或不稳定,学生难以应用,或者他们对新旧知识之间的关系辨别不清,则可以设计一个揭示新旧知识异同的比较性组织者.通过在数学课堂中呈现比较性先行组织材料,能够将学生认知结构中的某类知识与新知识进行类推,增强新旧知识之间的可辨别性,帮助学生明晰新旧知识的关系[1].

2 先行组织者在教学中的应用案例

2.1 运用先行组织者策略的内容解析

两条平行线之间的距离的定义以及性质在教材中是由平行四边形的性质引出,选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册的18.1 节.

点到直线的距离(以下简称点线距离)是一个定点与在一条直线上的动点之间的距离问题,两条平行线之间的距离(以下简称线线距离)是平行线间两个动点之间的距离问题——即点线距离和线线距离的本质是两点之间的距离(以下简称点点距离).换言之,点点距离是点线距离、线线距离的“比较性先行组织材料”.课例创设“乡村振兴”主题情境,在情境中以问题串引导学生明确三种距离本质上都是点点距离,搭建先行组织者与新知材料的关系(见图1).最后,动点间距离的最值问题是新学习材料的一个直接应用,要求学生扎实掌握新知识的特征,并明晰新学习材料的本质后,从题目条件中抽象出新学习材料的特征结构,从而转化问题,进行求解.

图1 先行组织者策略运用思路

2.2 教学目标与重难点分析

(1)理解线线距离的概念;了解线线距离和点点之间的距离、点线的距离的联系;

(2)通过从先行组织材料中得到新知的方式培养学生迁移的能力,在经历将实际问题转化为数学问题的过程中体会转化思想;在利用线线距离的知识解决最值问题中发展推理能力;

(3)运用数学知识解决乡村振兴问题,激发数学学习积极性,产生利用知识回报乡村的积极想法.从解决数学问题的过程中,感悟数学来源于生活、运用于生活.

“距离”是初中数学中重要的知识,在最短路径等最值问题中具有重要的价值,且作为初高中衔接的一个重要内容,扎实掌握距离的相关知识对于高中距离的进一步学习具有重要铺垫作用.在学习“线线距离”时,学生对于距离的学习过去了一年,且是结合平行四边形给出线线距离的概念,对学生的知识迁移能力要求较高.为此,依托先行组织者策略整合教材内容,让学生理解平行线间距离是教学重点之一,同时,线线距离的应用——动点间距离最值问题是本节教学的另一个重难点,以多个变式引导学生探究如何分析条件转化最值问题,培养学生解决一类最值问题的能力,启发思维.

2.3 教学片断

(1)情境引入,初探新知

情境创设:为响应乡村振兴的号召,干部深入基层运用专业知识支援乡村发展.2022 年修建了旅游公路,其中旅游公路与田地垂直而建.为充分利用村里的土地,提高经济效益,干部和村长敲定种植出品马铃薯和油菜等农产品.但是马铃薯和油菜是需水量较大的农作物,还需要引渠灌溉.农田附近有一条河流,此河流恰与旅游公路垂直(如图1).为节约成本,如何修建水渠才能最短? 你能帮助德美村解决这个问题吗?

问题1:河流和农田有何种位置关系?

师生活动:教师用手势比划河岸及农田与旅游公路的关系,学生观察教师动作、结合情境,回答农田与河流都与旅游公路垂直,可以将农田与河流看作一组平行线(如图2).

图1

追问:同学们可以将“如何修建水渠才能最短”这一实际问题转化为数学问题吗?

生1:在一组平行线之间连线,其中哪一条最短? (如图3)

图3

设计意图《全日制义务教育数学课程标准》强调要让学生经历现实情境的水平数学化[2],本环节以乡村振兴为背景创设情境,一方面引出数学问题,学生提高水平数学化能力,另一方面渗透振兴乡村的思想,加强学生的德育教育.

(2)知识串联,同化建构

师生活动:教师用手势比划两条平行线上不同位置,语言强调在两条平行线上任意取1 点连线,学生观察教师动作,感受“在一组平行线之间连线,其中哪一条最短? ”这一问题的本质是“在平行线上的两动点间连线,哪条线最短? ”

问题2:如图4,三种连线方式,哪种连线方式长度最短?

图4

生2:方案③最短,因为两点之间,线段最短.

问题3:平行线上有无数个点,分别选取哪两点连线段,才能使线段最短呢?

学生思考并未回答问题.

追问:同时考虑两条平行线上的2 个动点很困难,可否先固定其中一点呢? 如图5,在直线m上选定一点P,请在直线n上确定一点,使得两点连线最短.

图5

学生活动:学生发现这是点到直线的最短距离问题,所以过点P作关于直线n的垂线段,此时点P到直线n的距离最短(如图6).

图6

追问:如图7,在直线m再取一点E,向直线n作垂线段,那么PQ=EF吗? 如何证明?

图7

师生活动:大部分学生猜测PQ=EF,接下来教师引导学生利用平行四边形的判定与性质定理完成证明.

追问:我们利用两条垂线段平行的条件,利用平行四边形的判定及性质定理证明了在两条平行线间,垂线段互相平行且相等.那么在两条平行线间,任意一组平行线段长度相等吗?

学生集体回答相等,运用同样的方法可以证明.

师:通过以上的证明,我们知道平行线间任意一组平行线段长度相等.那么在无数组长度相等的平行线段中,哪一组线段最短呢?

生3:垂线段是最短的,因为在平行线上任意选一点,向另一条平行线作垂线段最短.

师:没错! 在无数组长度相等的平行线段中,垂线段最短.

设计意图通过手势与语言强调让学生感受线线距离的本质是平行线间两个动点之间的距离问题,再进一步引导学生将两个动点点间的距离问题转化为一个定点与在一条直线上的动点之间的距离问题——在此过程中,呈现点点距离和点线距离这一比较性先行组织材料,循序渐进引导学生在比较性先行组织材料(点点距离、点线距离)与新知(线线距离)之间建立迁移桥梁,有助于学生明晰线线距离与点点距离、点线距离的关系.

(3)知识生成,巩固升华

教师活动:根据以上探究过程,教师阐述两条平行线间的距离的定义.

定义:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做两条平行线之间的距离.

师生活动:根据环节三得到的结论,教师引导学生表述平行线间距离处处相等的性质及命题.

命题1:两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.

命题2:两条直线平行,一条直线上任一点到另一条直线的距离,为两条平行线之间的最短距离.

问题4:请同学们利用数学知识,设计一个建渠方案.

学生们回答在河岸上取若干灌水点,向农田作垂直于农田水渠.

师生活动:回顾建造水渠中问题转化的过程,归纳点点距离、点线距离与线线距离的关系,如图8.

图8

图9

设计意图基于前三个环节的铺垫,学生基于“点点距离”、“点线距离”等比较性先行组织材料,经历了知识的同化与建构,此环节总结习得的定义及命题、阐述点点距离、点线距离和线线距离的关系,加深对平行线之间距离的意义的理解,达到教学目标,突破教学重难点.

(4)知识应用,拾级而上

以本道例题作为变式的基础,该题是线线距离的定义和性质的直接应用,学生初步感知线线距离在最值问题中的应用.

变式1:如图10,在RtΔABC中,∠B=90°,AB=4,BC＞AB,点D在BC上,四边形ADCE是以AC为对角线的平行四边形,求DE的最小值.

图10

此题以平行四边形提供一组平行线,已知D点是动点,题目条件以AC为对角线构造平行四边形,隐含着的E点是平行线上的一个动点,即通过构造图形给出一个隐含条件,教师引导学生外显隐形条件后直接利用性质解题.

变式2:如图11,在菱形ABCD中,AB=4,点P、M、N分别是BC、AC、AB边上的动点,求PM+MN的最小值.

图11

首先运用“将军饮马”将线段和最值转化为一条线段的最值,由于菱形的性质,转化后,线段两端点恰在菱形的一组平行对边上,通过一次转化,一个隐含条件将问题转化为平行线上动点间距离最值问题,从而利用性质解题.

变式3:如图12,在RtΔABC中,∠C=90°,AB=点E、F分别是线段BC、AC上一动点,运动过程中保持FA=FD、ED=EB,G为AD中点,求EF的最小值.

图12

图13

首先分析题目,由FA=FD、ED=EB得到两个等腰三角形,根据“三线合一”,过E点作AB的垂线,这是第一次转化,也是两条平行线的隐含条件——两条垂线平行,两条运动的平行线始终是由两动点E,F引出,这是动态中蕴含的静态转化,最后将问题转化为两条运动的平行线间的最短距离问题,通过“三线合一”再次转化,得到最短距离与AB的关系.

变式4:如图,等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点与坐标原点重合,D(6,0),G点是OD上的一个动点,已知SΔABD=18,AC平分∠OAD,若P点是一个与A点纵坐标相等的动点,求PG的最小值.

本题首先根据P点与A点纵坐标相同,连接PA可得PA//OD,由此将PG最值转化为平行线间最短距离,接着,如何求解两平行线间的距离呢? 引导学生发现由等腰直角三角形和角平分线可以推出∠CAD=∠ACB,由“内错角相等,两直线平行”得BC//AD.教师再引导学生依据平行线间距离处处相等的性质,进行等面积转化,得到SΔABD=SΔAOD,由此结合D点坐标可以求得A到OD的距离,即为平行线AP与OD间的距离.

设计意图距离最短问题是初中几何中常见的几何类型,这些问题最终都会转化为“两点之间,线段最短”或“垂线段最短”.特别的,平行线上两动点之间距离最短问题是其中一类重要的题型,也是本课例的教学重点之一.本环节旨在以多个变式层层递进,不断减少显性条件,增强综合性,强化学生从条件中识别出平行线上动点间距离问题的能力,提高学生解决此类最值问题的能力.

3 教学反思

3.1 符合认知规律,突破教学难点

奥苏伯尔说:“影响学习的唯一的最重要的因素是学习者已经知道了什么.”本课例中以先行组织者为教学策略、以乡村振兴为教育背景,进行“平行线间的距离”的教学;并以例题为基础,精心编制层层递进的变式,让学生巩固习得的“新材料”,培养学生解决最值问题的能力.课例采取的先行组织者策略,以比较性先行组织材料类推新知,关联知识,促进学生的迁移,符合学生从旧知到新知的认知迁移过程,突破了三种距离问题关系难以明确的教学难点,也克服了学生长久未接触距离问题而生疏的认知困难.

3.2 增强解决距离最值问题能力

本课例的教学重点之一是线线距离的最值问题探究,四个变式,不断减少显性条件,添加知识点,变式2 到变式4 分别利用将军饮马、等腰三角形、坐标系三个其他知识进行转化,最后一个变式更是利用平行线间距离处处相等的性质进行求解.学生通过不同条件下寻找平行线上两动点距离的几何模式,不断强化识别该类模式的能力,增强一类最值问题的解题能力,在课后距离最值问题的作业中完成情况良好,学生反应本节变式的探究让其脑海中拥有了平行线上动点距离模式,在课后练习中能够从不同几何背景中较快地寻找该模式解决问题.