基于声压系数变换的分布式球阵方位估计

范子璇，魏明洋

（1.南京理工大学电子工程与光电技术学院，江苏 南京 210094；2.中国科学院声学研究所，北京 100190）

0 引 言

传声器阵列通过传感器阵元将声音振动信号转换成声音电信号对信号进行时域、频域、空域的处理，估计振动声源的空间方位。其中平面阵列应用最广泛，在时域利用到达时间差（time difference of arrival，TDOA）进行定位是常见的做法［1］。而在室外场景（如路口）的目标声源方位估计中，算法需要较好的全空间指向能力和方位分辨力。球面传声器阵列具有三维对称结构，对空间任意方向有相同指向性，并能通过球谐波分解实现高分辨的方位估计。因而，相比于平面阵列，球面阵更适用于室外场景。

在基于球面阵列的方位估计算法中，Meyer J等人［2］基于声场分解提出了球面阵列的波束形成算法，可以在不改变波束形状的前提下扫描三维空间中任意方向。Sun H等人［3］针对球面声场提出了阵列响应优化算法，将阵列加权向量设计问题转化为约束问题。同时，他提出了基于球谐波域的分布式声学传感器（distributed acoustic sensor，DAS）、最小方差无失真响应（minimum variance distortionless response，MVDR）和多重信号分类（multiple signal classification，MUSIC）算法对房间内的直达声和早期反射声进行方位估计［4］。Jorgen H［5］提出滤波求和算法，对有限脉冲响应滤波器施加约束条件，以扩大球面阵波束形成的动态范围。

单个球面传声器阵列虽然具有良好的方位性能，但在室外的远场中十分受限。首先，单个球阵列只能还原局部声场，当声源距离阵列较远时，接收信号的信噪比低，声场还原难度大；其次，声场的空间分辨率和估计精度都与传感器数量成正比，而在半径约束情况下的单个球面上能布放的传声器数量存在上限。为了准确还原更大的声场来估计声源方位，分布式阵列因大尺寸和灵活的布放成为新选择。多节点定位的研究方向众多［6］，但有关分布式的球阵列，目前的探索较少。其中，Wang F等人［7］通过分布式球阵列对宽带声源定位，分析了分布式传声器阵列的子阵数和子阵半径对声源识别的影响。Pan X等人［8］提出一种基于多个开球阵列的宽带声源方位估计算法，采取同心球阵列装置，增大了工作频率范围，降低了计算复杂度。

有鉴于此，本文针对分布式球面传声器阵列的布放和方位估计问题展开相关研究。提出了一种基于加法定理的方位估计算法，分析了模态截断阶数以及子球阵的分布位置对算法的影响。最后在低频相干平面波声源场景下进行了仿真验证。

1 分布式球阵理论模型

1.1 声场的球谐波域表达

基于单位球的函数可以用加权的球谐波函数（θ，φ）来表达，n阶m次的球谐波函数定义为

式中θ为俯仰角，φ为方位角，Pmn（）为连带勒让德函数。假设声源是单位幅度的远场平面波，入射角为（θk，φk），令r＝（r，θr，φr）表示球心位于坐标原点的球形有界区域内的任一观测点，则r处的声压可以表示［9］为

式中jn（kr）为球贝塞尔函数，k＝（k，θk，φk）为来波的波数向量，k为波数。

1.2 声压系数变换

声压的表达式与球心位置有关，假设空间Z中某一点Q相对于原点o的位置为R＝（R，θR，φR），相对于q点Rq（Rq，θq，φq）的位置为r＝（r，θr，φr），具体位置表示如图1所示。

图1 声场转移示意

声压以原点为中心在球谐域展开和以q为中心在球谐域展开的表达式分别如下

其中，（k）和（k）为基于o和q参考点的声压系数，展开表达式如下

定义jv（kr）Yvμ（θr，φr）和jn（kR）Ynm（θR，φR）为声压的基函数。

根据加法定理［10］，原点处的基函数表达式可以通过不在原点处的基函数乘以转移矩阵T得到。将各子阵处的基函数转移到全局原点处的表达式为

T矩阵的维度由转移前后的截断阶数共同决定，声场转移前在q处的阶数为V，声场转移后在o处的阶数为N。T矩阵中每一个元素表达式如下

其中，G（n，m；v，-μ，l）为Gaunt系数，截断阶数l＝n＋v＋1。最终，声压系数的转移关系为

1.3 声压系数的N阶估计

图1所示的Q点处声压不仅受声源影响，还包含了高斯白噪声n的干扰，因此将Q点的实际声压表达如下

将上述频域的声压转换到球谐波域，取截断阶数N，可得到下式

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其中，-n≤m≤n，0≤n≤N，xnm∈C（N＋1）2。因为T矩阵具有正交性，nnm依然服从高斯分布。等式（11）两边同时除以jn（kR）可得

设ϵ∈NC（0，Σ），Σ∈C（N＋1）2×（N＋1）2，令S为T-1，则

根据贝叶斯估计准则［11］可得：条件概率服从NC（，Σ）。假定q处的声压系数的先验概率服从NC（0，），设Ψ为SHS，则可得：后验概率的均值为：S（Ψ＋）-1x，协方差矩阵为［I-S（Ψ＋）-1SH］。而o处的声压系数的先验概率服从NC（0，I），后验概率分布的均值为Ψ（Ψ＋）-1x，因此，通过T矩阵转移得到的原点处的声压系数估计为

2 分布式球阵的方位估计

2.1 方位谱估计

本文希望从声压系数所示的球谐波系数中提取信号的方位信息。定义滤波器h（θ，φ），根据球谐波函数的正交性，令滤波器系数为

在实际应用中，通过估计得到的声压系数＾α（o）k获取声源方位。通过滤波器后的方位谱输出表达为

式中（k）为声压系数的样本协方差矩阵，L为估计样本协方差矩阵（k）所用的快拍数。方位谱的峰值所在即为估计得到的声源方向。

2.2 分布半径优化

图2所示的阵形设计采用4 个由32 只传声器均匀排布的子球阵，分别放置在正四面体的顶点位置，即令4 个子阵也在以分布半径Rq为半径的球面上均匀放置。

图2 4 个子阵球心位于正四面体顶点

对于任一子球，在球贝塞尔函数jl（kRq）的取值近似0点的情况下，该子球转移到原点处的球谐声压系数即无法分辨多个声源。而假若jl（kRq）的取值在任意阶数l上都不接近于0，则能够分辨多个声源。本节提出一种优化方案，即对有贝塞尔零点问题的子球的波束输出赋予小权重，对没有贝塞尔病态零点问题的子球的波束输出赋予大权重。具体权重取值为各子球贝塞尔函数的最小值

为避免在选取4 个不同分布半径的时候，4 个子球都遭遇贝塞尔零点的情况，下面对各子阵分布半径，（p＝1，2，3，4）的选取进行优化。设＝ap，a1＝1，1 ＜a2，a3，a4＜2，优化对象a＝［a2，a3，a4］，优化目标为

通过上述准则，找到弱化贝塞尔零点影响的最优半径比例aopt。

3 仿真实验

3.1 截断阶数对声场重放精度影响分析

假定一个单位振幅的声源来波方向（θk，φk）为（45°，15°），波数k为10，分布式阵列的最大半径范围R为1 m，即需要重放的声场的半径范围为1 m。声场还原情况随系数转移到原点后的截断阶数N的变化如图3所示。由图3（a）可见，能够还原的声场范围半径R超出1 m。而图3（b）中还原的声场范围正好为1 m的圆，在圆圈之外的范围内，正弦波的线条扭曲，说明1 m以外的声场无法准确重放。图3（c）中还原的声场不能覆盖半径1 m 的圆。可知声场还原的条件为截断阶数N≥kR。

图3 不同阶数下声场重放示意

3.2 相干声源方位估计与分布半径选取

采用对于位于（35°，15°）和位于（-35°，-15°）方位上的500 Hz相干声源进行测向。其中，子阵的半径设定为0.15 m，阵列中心位于坐标原点，阵列接收功率为20 dB 的高斯白噪声，时域快拍数L为100。为对比分布式阵列与单球阵列测向性能的差别，并观察分布半径Rq对相干声源测向性能的影响，采用2.1节的方法对多种情况分别输出方位谱图。单球阵列和选取不同分布半径的分布式阵列测向图如图4所示。

图4 相干声源测向图

由图4（a）可见，单球阵列无法在500 Hz的频率上分辨位于（35°，15°）和（-35°，-15°）的相干声源。图4（b）～图4（h）则显示随分布半径的增大，阵列对声源的分辨力提高。然而，图4（e）～图4（h）表明，在分布半径进一步增大时，并没有随着前面的规律持续提高分辨力，反而在Rq为1.5 m和2 m时急剧下降。总之，在部分分布半径下，多球阵列能够分辨该声源，在另外的分布半径下则不能。分析认为，在半径增大的过程中，截断阶数随之增高，因此贝塞尔函数拥有更多零点频率，导致在Rq为1.5 m和2 m时无法分辨该声源。

如果采用2.2节中的分布方式，即阵列各子阵选择不同的分布半径，按式（18）计算子阵加权系数。分析取最优值时阵列总的贝塞尔零点情况。因为设计的应用场景为室外低频信号，因此仿真设定波数k∈［7，12］，取∈［0，2］，考虑到a的选择与的离散精度μ有关，μ取0.1。仿真显示最优半径比为aopt＝［1.2，1.5，1.6］。当aopt是μ为0.1时，J（α）取得最大值时的4 个子球半径比例。探究J（α）随半径比例a的变化趋势，为了便于作图观察，将a从三维降至一维，先研究在仅考虑2 个子球的情况下，J（α）受分布半径比例变化的影响，即测试在2 个子球的分布半径差异化时，贝塞尔零点问题是否有所缓解。对分别再取离散精度μ为0.01、0.001，观察aopt是否随着离散精度的提高在［1，2］范围内趋近于最优点。结果如图5所示。

图5 双球分布半径比例取不同离散精度对比

由图5可见，J（α）随半径比例的变化曲线并不因为离散精度的变高而越来越平滑或不断趋近局部最优点，反而发生更加陡峭的变化。这表明，离散精度对该问题的最优取值影响很大，无法找到一个最优的半径比例取值使阵列避免或削弱贝塞尔函数零点带来的影响。因此，该仿真实验证明分布半径之间的相对取值优化不能直接规避贝塞尔零点。本文在实际应用中只能选择限定分布半径的绝对取值，例如规定部分子阵的分布半径必须小于1 m，然后再采用对这部分子阵的方位谱输出赋予大的权重，其余子阵的方位谱输出赋予小的权重的方式进行最终的声源测向。

4 结 论

针对分布式球面传声器阵列的布放和方位估计问题，本文提出了一种基于声压系数变换的分布式方位估计算法，利用球谐波函数轴对称加法定理将分布式子球的球心声压系数变换到坐标原点，再利用球谐波函数正交性估计来波方位。为降低球贝塞尔函数零点对方位估计的影响，提出了一种基于子阵分布半径优化的声压系数加权变换算法。仿真表明，基于声压系数变换的方位估计算法能有效提升低频信号的方位估计分辨率，对于路口异常声检测场景下的方位估计有显著意义。