挖掘条件内涵选择合适路径
2024-03-07安徽省宁国中学陈晓明
■安徽省宁国中学 陈晓明
在平时考试中,不少同学对题目条件不知如何处理,从而造成解题受阻,失分现象严重。如何解决这样的问题呢? 下面通过实例说明解题要注重对题目条件内涵的挖掘,选择合适的路径解决问题,我们的解题水平得到提高,才能笑傲考场!
解析:如图1 所示,要求椭圆E的离心率,就是要构建关于椭圆中的基本量a,b,c的方程。于是想到在△MF1F2中利用正弦定理或余弦定理解决问题,只需求出|MF1|,|MF2|的长即可。 由已知条件可判断MN为∠F1MF2的角平分线,且∠F1MF2=120°,这与后面的条件”有什么关系呢? 条件“有什么用呢?
图1
图2
图3
于是还要从角平分线着手分析,三角形
再根据∠F1PF2=60°,由余弦定理得(2)2=9a2+a2-2×3a×a·cos 60°,解得a=2。
故△PF1F2的内切圆的半径为正确答案是B。
例2(安徽省2022 年高考考前适应性考试理科数学第20 题) 已知点O为坐标原点,过点C(4,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB。
(1)求抛物线的标准方程;
(2)动点M,N为抛物线在第一象限内两点,且直线MC与直线NC的倾斜角互补,求证:是定值。
解析:(1)如图4 所示,设A(x1,y1),B(x2,y2)。显然直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+4,代入抛物线方程y2=2px并整理得y2-2mpy-8p=0。
图4
因为根的判别式Δ>0,所以由韦达定理得y1y2=-8p。
(2)证法1 如图5所示,设点N关于x轴的对称点为T,则|ON|=|OT|。
图5
因为直线MC与直线NC的倾斜角互补,所以M,C,T三点共线。
由 题 设 得OM⊥OT,不妨设M即为A点,T即为B点,即M(x1,y1),T(x2,y2),则N(x2,-y2),故y1(-y2)=x1x2+y1y2-2y1y2=-2y1y2=32,是定值。
点评:本证法充分挖掘条件“直线MC与直线NC的倾斜角互补”的内涵,得到M,C,T三点共线。从而由题设得OM⊥OT,再利用韦达定理、向量数量积的坐标表示及变换的思想解决问题。
证法2 如图6 所示,设M(x1,y1),N(x2,y2)。显然直线MN的斜率不为0,设其方程为x=my+a,代入抛物线方程y2=4x并整理得y2-4my-4a=0。
图6
当判别式Δ>0 时,由韦达定理得y1+y2=4m,y1y2=-4a。
因为直线MC与直线NC的倾斜角互补,所以它们斜率之和为0,即kMC+kNC=
又x1=my1+a,x2=my2+a,故y1(my2+a-4)+y2(my1+a-4)=0,整理得2my1y2+(a-4)(y1+y2)=0。
将y1+y2=4m,y1y2=-4a代入上式得-8ma+(a-4)·4m=0。
因为m≠0,所以解得a=-4。
点评:本证法充分挖掘条件“直线MC与直线NC的倾斜角互补”的内涵,得到kMC+kNC=0,从而利用斜率的坐标表示、直线方程消元、韦达定理及向量数量积的坐标表示解决问题。
因为y1+y2>0,所以y1y2=16。
点评:(1)本证法充分挖掘条件“直线MC与直线NC的倾斜角互补”的内涵,得到kMC+kNC=0,从而利用斜率的坐标表示、抛物线方程消元及向量数量积的坐标表示解决问题,没有利用韦达定理,解法变得简单。(2)仿照上述解题过程,我们易证下面结论成立。
已知定点C(2p,0),动点M,N为抛物线y2=2px(p>0)在第一象限内两点,若直线MC与直线NC的倾斜角互补,则是定值8p2。
例3在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b)·(sinAsinB)=c(sinC+sinB),若角A的内角平分线AD的长为2,则4b+c的最小值为( )。
A.10 B.12 C.16 D.18
解析:因为(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB),所以由正弦定理化角为边得(a+b)(a-b)=c(c+b),即b2+c2-a2=-bc。进一步由余弦定理得cosA=