圆锥曲线点乘法的应用举例

■河南省沈丘县第一高级中学 刘 玉

在解析几何中,点差法是解决直线与圆锥曲线位置关系常用的一种方法,即直线l与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,将A,B两点的坐标代入曲线方程,两式相减整理即可得到直线l的斜率和弦中点之间的关系式,如此可以减少运算量,优化解题过程,实现“设而不求”的目的。那么两式相乘能得到什么结论呢?

下面我们以焦点在x轴上的椭圆为例进行探究。

那么,双曲线中是否有类似结论呢? 下面以焦点在x轴上的双曲线为例进行探究。

在双曲线中利用点乘法虽然无法得到和椭圆类似的结论,但相乘之后所包含的项相同,均涉及,因此,当题目中出现这些式子时,可以尝试从点乘法入手寻找解题思路。

下面通过举例,对几道典型的例题进行剖析,以便同学们灵活掌握解决此类问题的思路和方法。

例1已知椭圆E,直线l与椭圆E交于A、B两点,O为坐标原点,若kOA·,则△AOB的面积是否为定值? 如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由。

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)。

图1

解析:如图2,取AB的中点D,设A(x1,y1),B(x2,y2)。

图2

A、B、C三点在椭圆上,则:

例4已知动直线l与椭圆C=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两个不同的点,且△OPQ的面积S△OPQ= 6,其中O为坐标原点。

(1)证明:x21+x22和y21+y22均为定值;

(2)设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值。

又4|OM|·|PQ|≤4|OM|2+|PQ|2=20,则|OM|·|PQ|≤5,故|OM|·|PQ|的最大值为5,当且仅当2|OM|=|PQ|时等号成立。