高二期末考试模拟卷（A 卷）

2024-03-07河南省郑州市第二高级中学冯丽娟

中学生数理化(高中版.高二数学) 2024年2期

关键词：动点直角坐标小题

■河南省郑州市第二高级中学冯丽娟

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

1.已知直线l1:x+2ay-1=0 和直线l2:(3a-1)x-ay-1=0,则“”是“l1//l2”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.“斐波那契”数列由13 世纪意大利数学家斐波那契发现,该数列满足递推关系:a1=a2=1,an=an-1+an-2(n>2,n∈N*)。已知数列{an}为“斐波那契”数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S2022=m,则a2024=( )。

C.2mD.m+1

3.已知向量m是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,且,则直线l与平面α所成的角为( )。

A.30° B.60°

C.120° D.150°

4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”。图1 是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则的最小值为( )。

图1

5.对于空间一点O和不共线三点A,B,C,并且,则( )。

A.O,A,B,C四点共面

B.P,A,B,C四点共面

C.O,P,B,C四点共面

D.O,P,A,B,C五点共面

7.已知过抛物线C:y2=8x的焦点F,且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A,B两点,Q为弦AB的中点,P为抛物线C上一点,则|PF|+|PQ|的最小值为( )。

8.已知数列{an}满足a1=2,an+1=记bn=a2n,则( )。

A.b1=5 B.b2=9

C.bn+1-bn=2 D.bn=4n-1

二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5 分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)

9.圆C1:x2+y2=4 与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0,则下列说法正确的是( )。

A.两个圆的公共弦所在直线方程为xy+2=0

B.两个圆的位置关系为外切

C.两个圆的公共弦长为2 2

D.两个圆有四条公切线

10.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的棱|AB|=|AD|=2,|AA1|=1,点P满足:,λ,μ,γ∈[0,1],下列结论正确的是( )。

A.当λ=1,γ=0时,P到A1D1的距离为3

B.当μ=1时,点P到平面BDD1B1距离的最大值为2

C.当λ=μ=1,时,四棱锥PBB1D1D的体积为

D.当λ=0,μ=1 时,直线PB与平面ABCD所成角的正切值的最大值为

11.已知曲线C,F1、F2分别是曲线C的左、右焦点,则下列说法中正确的有( )。

A.若m=-3,则曲线C的两条渐近线所成的夹角为

B.若曲线C的离心率e=2,则m=-27

C.若m=6,则曲线C上不存在点P使得∠F1PF2=

D.若m=4,P为曲线C上一个动点,则△F1PF2面积的最大值为3

12.数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+an=2n-1,下列说法正确的是( )。

A.若{an}为等差数列,则{an}的公差为1

B.若{an}为等差数列,则{an}的首项为1

C.S30=435

D.S2n≥4n-3

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)

13.科拉茨是德国数学家,他在1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半;如果n是奇数,就将它乘3加1(即3n+1)。不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1。这是一个很有趣的猜想,但目前还没有证明或否定。对正整数a1(首项)按照上述规则施行变换后得到a2,依次施行变换后所得到的数组成数列{an},Sn是数列{an}的前n项和,若a1=10,则S50=_____。

14.在空间直角坐标系中,若一条直线经过点(x0,y0,z0),且以向量n=(a,b,c)(abc≠0)为方向向量,则这条直线可以用方程来表示。已知直线l的方程为x-2=y-4=2z,则点P(4,4,2)到直线l的距离为____。

15.已知椭圆C的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆C的离心率,则称椭圆C为“黄金椭圆”。O为坐标原点,P为椭圆C上一点,A和B分别为椭圆C的上顶点和右顶点,则下列说法正确的是____。

①a,b,c成等比数列;

② ∠F1AB=90°;

④若PF1⊥x轴,则OP//AB。

16.已知圆M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为直线l上的动点。过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B,则|PM|·|AB|的最小值为_____;当|PM|·|AB|取最小值时,直线AB的方程为_____。

四、解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(本小题10 分)在平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标:A(0,0),B(3,3),C(4,0)。

(1)求点D的坐标,并证明平行四边形ABCD为矩形;

(2)求CD边所在的直线方程及∠ABC的内角平分线所在的直线方程。

18.(本小题12分)我国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中研究过高阶等差数列问题,若数列{an}满足{an+1-an}为等差数列,则称{an}为二阶等差数列。已知二阶等差数列1,2,4,7,…。

(1)求{an}的通项公式;