高二期末考试模拟卷（B卷）

■河南省郑州市第一〇一中学 冯连福

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC∩BD=O,点P在线段AD1上,且PD1=2AP,则下列向量中与相等的向量是( )。

3.下列说法正确的是( )。

A.直线x-y-1=0 的一个法向量为(1,1)

B.直线x+y-1=0的一个方向向量为(-1,-1)

4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果。其中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿氏圆。已知点O(0,0),A(3,0),动点P(x,y)满足,则点P的轨迹与圆C:(x-1)2+y2=1的公切线的条数为( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

5.已知公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1,a2+1,a3+1成等差数列,则S6=( )。

A.64 B.63 C.126 D.128

6.如图1 所示,一个棱数为24,棱长为2的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得。若点E为线段BC上的动点,则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围是( )。

图1

7.已知正数数列{an}是公比不等于1的等比数列,且a1a2023=1,试用推导等差数列前n项和的方法探求:若,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2023)=( )。

A.2 022 B.4 044

C.2 023 D.4 046

二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5 分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)

9.已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,则( )。

A.an=2n+2

B.{an}的前n项和为n(n+3)

C.{(-1)nan}的前100项和为-100

D.{|an-10|}的前20项和为284

10.已知直线l过抛物线E:y2=4x的焦点F,与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别过A,B作抛物线的准线的垂线,垂足分别为A1,B1,以线段A1B1为直径作圆M,O为坐标原点,下列判断正确的有( )。

A.x1+x2≥2

B.△AOB为钝角三角形

C.点F在圆M的外部

D.直线A1F平分∠OFA

11.如图2,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=1,则下列说法正确的是( )。

图2

A.异面直线PB与AC所成的角为60°

B.直线PD与平面PAC所成的角为30°

C.平面PBD与平面PAB的夹角为30°

D.点C到平面PBD的距离为

12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中点A在第一象限,点M是AB的中点,作MN垂直于准线,垂足为N,则下列结论正确的是( )。

A.若以AB为直径作圆M,则圆M与准线相切

B.若直线l经过焦点F,且-12,则p=4

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)

13.已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4=_____。

14.已知直线l:kx-y-3k+4=0与曲线有且只有一个公共点,则k的取值范围为____。

15.如图3,已知P为椭圆C:0)上一点,F1,F2分别为其左右焦点,A为其右顶点,O为坐标原点,点A到直线OP的距离为d1(d1≠0),点P到x轴的距离为d2,若d2=,且|PF1|,|PO|,|PF2|成等比数列,则椭圆C的离心率为_____。

图3

16.如图4,在棱长为2 的正方体ABCDA1B1C1D1中,已 知 点E,F分别为直线BD,AD1上的动点,给出下面四个结论:

图4

①异面直线AD1,BD所成的角为60°;

②点F到平面B1C1C的距离为定值;

③若F为AD1的中点,则点F到直线BD的距离为2;

则其中正确结论的序号是____。

四、解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(本小题10分)已知{an}是公差为2的等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4。

(1)求{an}与{bn}的通项公式;

18.(本小题12分)已知A、B为抛物线E上不同的两点,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)平分。

(1) 求抛物线E的方程;

(2) 求直线AB的方程;

(3) 求|AB|的值。

19.(本 小 题12 分)如图5,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于M,N(点M在点N的左侧)两点,且|MN|=3。

图5

(1)求圆C的方程;

(2)过点M任作一直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,试探究:直线AN与直线BN的斜率之和kAN+kBN是否为定值?

20.(本小题12 分)在①|AE|=2,②AC⊥BD,③∠EAB=∠EBA,这三个条件中选择一个,补充在下面问题中,并给出解答过程。

如图6,在五面体ABCDE中,已知____,AC⊥BC,ED//AC,且|AC|=|BC|=2|ED|=2,|DC|=|DB|=3。

图6

(1)求证:平面ABC⊥平面BCD。

(2)求直线AD与平面ABE夹角的正弦值。

(3)线段BC上是否存在一点F,使得平面AEF与平面ABE夹角的余弦值等于? 若存在,求的值;若不存在,请说明理由。

21.(本小题12分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长。某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如:用一张圆形纸片(如图7),按如下步骤折纸:

图7

步骤1,设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为F;

步骤2,把纸片折叠,使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F重合);

步骤3,把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与AE的交点为P;

步骤4,不停重复步骤2 和步骤3,就能得到越来越多的折痕。

现取半径为4的圆形纸片,设点F到圆心E的距离为2 3,按上述方法折纸。以线段EF的中点为原点,线段EF所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程。

(2)设曲线C与x轴从左到右的交点为点A,B,点P为曲线C上异于A,B的动点,设PB交直线x=4于点T,连接AT交曲线C于点Q。直线AP、AQ的斜率分别为kAP、kAQ。

(i)求证:kAP·kAQ为定值;

(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标。

22.(本小题12 分)已知圆E:x2+y2+,点M是圆E上的动点,点,N为MF的中点,如图8所示。过N作SN⊥MF交ME于S,设 点S的 轨 迹为曲线C。

图8

(1)求曲线C的方程。

(2)过点P(0,1)的动直线l与曲线C相交于A,B两点。在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使恒成立? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。