浅谈近几年高考全国卷中“数列”解答题的解题策略

■河南省固始县高级中学教育集团 胡云兵

2023 年高考数学题的命制与前几年相比有一定的创新,尤其是数列题的难度有所增加。下面从最近几年高考题以及重要模拟考试题中,总结数列解答题的命题规律和方向。

一、数列在解答题中的位置变化

在2018年之前,基于2003 版课标的全国卷的数列题在解答题中的位置都是第17题(第一道解答题),属于基础题,但从2019年起,数列题在解答题中的位置开始变得灵活。这在教育部考试中心《试题分析(数学)》(2020 年版)中有说明,下面是部分摘录:2019年的理科数学试卷,在整体设计上保持平稳,……,但在整体平稳的基础上,也有了适当的变化,主要体现在主观题的设计上。……对重点内容的考查,在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下,在各部分内容的布局和考查难度上会进行动态设计。

表1是近几年全国卷、新高考卷中数列解答题的题号。

表1

二、解题策略

策略1 应用累乘法

这是求数列通项公式的一个重要的方法,在近几年高考全国卷中都进行了考查。

例1(2021年全国乙卷第19 题) 记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知

(1)证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式。

点评:第一问证明等差数列,求bn与Sn的关系需要相除,和累乘法的方法类似。

例2(2022 年新高考Ⅰ卷第17 题)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列。

(1)求{an}的通项公式;

分析:(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式;

(2)结合(1)的结论,利用裂项相消法求出数列的和,再利用放缩法求出结果。

点评:本题考查数列的递推关系式,数列通项公式的求法,数列的求和,裂项相消法在数列求和中的应用,对同学们的运算能力和数学思维能力要求较高。

例3(2023 年全国甲卷第 17 题)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan。

(1)求数列{an}的通项公式;

分析:(1)根据即可求出{an}的通项公式;

(2)根据错位相减法解出前n项和Tn。

解:(1)由题意知2Sn=nan。

当n=1时,2a1=a1,则a1=0。

当n=3时,2(1+a3)=3a3,则a3=2。当n≥2 时,则2Sn-1=(n-1)an-1,即2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an。

化简得(n-2)an=(n-1)an-1。

当n≥3 时则an=n-1。

因当n=1,2,3 时都满足上式,故an=n-1(n∈N*)。

策略2 应用分类讨论法

分类讨论是最近几年全国卷数列题频繁考查的思想方法。分类讨论包括:①求通项公式时需要写成分段形式;②求某个参数的值时需要分情况讨论。

例4(2023年四省联考第19 题) 记数列{an}的前n项和为Tn,且a1=1,an=Tn-1(n≥2)。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设m为整数,且对任意n∈N*,m≥恒成立,求m的最小值。

分析:(1)由数列an与Tn的关系可得an+1=2an(n≥2),再结合等比数列的通项公式可得解;

解:(1)因为a1=1,an=Tn-1(n≥2),所以a2=a1=1。

当n≥2时,an+1=Tn=Tn-1+an=2an,故an=a2·2n-2=2n-2(n≥2)。

a1=1不满足上式。

故数列{an}的通项公式为an=

点评:第一问求通项公式时需要分类讨论,写成分段形式。

例5(2023 年全国Ⅰ卷第20 题)设等差数列{an}的公差为d,且d>1。令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和。

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求数列{an}的通项公式;

(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d的值。

分析:(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可;

(2)由{bn}为等差数列得出a1=d或a1=2d,由等差数列的性质可得a50-b50=1,分类讨论即可得解。

解:(1)因为3a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d。

故S3=3a2=3(a1+d)=6d。

因此,an=a1+(n-1)·d=3n。

(2)因为{bn}为等差数列,所以2b2=

因d>1,故an>0。

又S99-T99=99,由等差数列的性质知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1。

当a1=2d时,a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,与d>1矛盾,无解;

当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,解得

点评:本题第二问首先会解出a1有两个值,然后需要分类讨论,分别解出对应的d值,舍去不符合题意的值。

通过以上分析可以发现,2023年高考特别重视数列问题中分类讨论思想的应用。因此,在后续学习中要在解数列问题时重视分类讨论思想,主要有下面两个方面。

(1) 分段求和,包括下面几种问法。

(i)定义bm为数列{an}在区间(0,m)的个数,对数列{an}求和,如2020 年新高考Ⅰ卷第18题;

(ii)含绝对值的数列求和,如2023 年全国乙卷文科第18题;

(iii)对奇数和偶数讨论,如2023新高考Ⅱ卷第18题,另外,含(-1)n数列的不等式问题的分类讨论也至关重要。

(2) 参数讨论,如2023年新高考Ⅰ卷第20题。

新高考在数列方面的考查注重通法,注重基础,淡化技巧,不必做太多涉及不等式放缩的技巧性题目(十几年前数列压轴题主要考数列不等式的放缩),因为这部分题目技巧性过强,不是新高考考查的方向。