剖析数列中结构不良性问题

■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏

结构不良性问题的命制对发挥数学学科高考的选拔功能具有重要作用,其给予同学们充分的选择空间,充分考查同学们对数学本质的理解,引导大家在数学概念与数学方法的学习中重视培养数学核心素养,克服“机械刷题”现象。“结构不良性”问题比开放性问题的范畴更广,对考查同学们的数学理解能力、数学探究能力是积极和深刻的。

一、结构不良性问题的概念理解及解题策略

所谓“结构不良”,即指构成问题的目标、条件和解决问题的方法三者存在某种不确定性,主要表现在具体情境缺乏足够的资源,材料不全或参数不完整,问题目标界定不明确,解决问题相应的知识准备不充分,解决方法多样,所涉及的概念和原理不确定等,因而没有唯一、标准的答案,并且问题的解答要与多个知识领域相联系。

结构不良性问题的一般解题流程可概括为:

通读整个题目,理解题意;选择适合自己解题突破的条件;把条件代入题目将结构补充完整;根据有关概念性质和公式解题。

二、结构不良性问题的解题突破

突破(1) 先定后动

此类问题,一般先利用数学知识对“定”(确定的条件)进行分析推断,得出一部分结论;再观察分析“动”(给定选项的条件),最后结合题干要求选出最优条件(最熟悉,能发挥自己优势,容易拿分)进行解答。

例1在①a1=20,n∈N*),②Sn=n2-2n+3(n∈N*),Sn为{an}的前n项和,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答下列问题。

已知数列{an}满足____。

(1)求数列{an}的通项公式。

(2)对大于1的正整数n,是否存在正整数m,使得a1,an,am成等比数列? 若存在,求m的最小值;若不存在,请说明理由。

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。

解析:(1)选择条件①。

因为an>0,所以

选择条件②。

由Sn=n2-2n+3,可得当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-3。

当n=1时,a1=2不满足上式。

(2)选择条件①。

假设存在满足题意的正整数m,使得a1,an,am成等比数列,则a2n=a1am,即3n+

因为n∈N*且n>1,m∈N*,所以当n=3时,mmin=8。

故存在正整数m,使得a1,an,am成等比数列,m的最小值为8。

选择条件②。

假设存在满足题意的正整数m,使得a1,an,am成等比数列,则a2n=a1am。

当m=1时,有a2n=4,即(2n-3)2=4,此时n无正整数解。

当m≥2 时,(2n-3)2=2(2m-3),即

因为n∈N*,所以不可能为正整数。

故不存在正整数m,使得a1,an,am成等比数列。

点评:本题是初始状态的呈现不确定性的结构不良性问题,试题设计了两个开放性的可选择的条件,选择不同的条件解题的难度是有所不同的。这启示同学们在解题时要选择一个适合自己的条件来解决。

突破(2) 先动后定

此类问题,一般利用数学知识对“定”(确定的条件)进行分析推断,不容易得到明确的结论,必须先观察分析“动”(给定选项的条件),经过分析推理得到有利于解题的结论,再结合“定”的条件进行解答。

例2设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,S5=15。

(1)求{an}的通项公式;

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得数列{bn}唯一确定,求{bn}的通项公式。

条件①:Tn+1=Tn+an;条件②:Tn=;条件③:Tn=2an-1。

解析:(1)设等差数列{an}的公差为d。

由a5=a1+4d=1+4d=5,得d=1。

因此,an=a1+(n-1)d=1+n-1=n。

(2)若选条件①。

由Tn+1=Tn+an=Tn+n,得Tn+1-Tn=n。

当n=1时,T2-T1=b2=1;当n=2时,T3-T2=b3=2。

Tn+1-Tn=bn+1=n,但b1值未知,故满足条件①的数列{bn}不唯一。

若选条件②。

Tn=2bn-=2bn-1 ,当n=1 时,b1=2b1-1,解得b1=1。

当n≥2 时,由Tn=2bn-1,得Tn-1=2bn-1-1,两式相减可得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1。

所以{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,bn=2n-1。

因此,选条件②使得数列{bn}唯一确定,且bn=2n-1。

若选条件③。

Tn=2an-1=2n-1 ,当n=1 时,b1=T1=1。

当n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1。当n=1时,也满足此式。

因此,选条件③使得数列{bn}唯一确定,且bn=2n-1。

点评:若直接从“定”的条件出发,则无法直接选出本题的有利条件,所以本题从“动”的条件出发,通过分析推导出有利的条件,再结合“定”的条件,从而解出题目。

突破(3) 先猜后证

高考试题在命制时,问题的初始状态虽然以同学们熟悉的内容为基础,但是常立足于知识交汇,体现数学思维的创新。当知识的结合和解题模式超出同学们已有的经验时,解决问题的操作模式就会变得模糊和不确定,需要大家创造性地构建解题路径,探寻解题的方法。

例3甲、乙两名同学在学习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏,导致一个条件看不清楚,具体如下:等比数列{an}的前n项和为Sn,已知____。

(1)判断S1,S2,S3的关系并给出证明。

(2)若a1-a3=3,设的前n项和为Tn,证明

甲同学记得缺少的条件是首项a1的值,乙同学记得缺少的条件是公比q的值,并且他俩都记得第一问的答案是S1,S3,S2成等差数列。

如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的,请通过推理把条件补充完整并解答此题。

解析:(1)补充的条件为

S1,S2,S3的关系为S1,S3,S2成等差数列。

证明如下。

以上两式相减,可得:

点评:此类问题是命制问题目标界定不明确的结构不良性问题。它以结论为条件,将目标状态进行转化,寻求缺失条件,既合乎常规,又有新突破,具有很强的开放性和浓厚的创新性。它注重思维的灵活性及策略选择,对数学理解能力、数学探究能力有较高的要求,体现了对数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查,对同学们的理性思维和数学探索能力也提出了较高要求。