单位根KPSS检验趋势项检验量的改进

江海峰，胡根华

（安徽工业大学商学院，安徽 马鞍山 243032）

0 引言

由于单位根检验结论对宏观经济政策选择具有重要参考价值，因此成为理论计量经济学的研究热点。经典单位根检验分为两大类：第一类是以存在单位根过程为原假设的DF 类检验，第二类是以趋势平稳过程为原假设的KPSS检验。两类单位根检验量的分布取决于数据生成过程与检验模型设置形式，因此单位根检验过程实际上也是确定数据生成过程，为此Dolado等（1990）[1]、江海峰和汪忠志（2015）[2]分别提出第一类单位根DJSR 和第二类单位根KPSS检验流程，用于指导实证研究。根据检验流程，就第一类单位根检验而言，对模型中漂移项、趋势项进行单参数t 检验，以及与单位根项的联合检验[3,4]。对第二类单位根检验中漂移项和趋势项研究较少，不难发现，江海峰和汪忠志（2015）[2]的研究虽然采用t检验量进行检验，但构造检验量的出发点是消除分布中的未知参数，并非严格依据t检验量的定义。如何根据t检验量的定义，重新构造趋势项检验量并研究其分布，是本文研究的重点。

从检验效果看，如何构造具有较低水平扭曲和较高功效的检验量是理论研究的重点。就提升检验功效而言，一是改进现有单位根检验量，例如DF-GLS 检验、NP检验和NRS检验就是对DF检验的改进；二是配合检验流程，确定数据生成过程。由于KPSS 检验直接将趋势项作为解释变量，这为检验趋势项类型提供了便利，但文献梳理显示，对于第二类KPSS 单位根检验，主要集中于KPSS检验量研究，而忽视了对趋势项检验的分析。国内学者主要从模拟角度展开研究，国外理论研究主要集中在模型误设与结构突变对检验量分布的影响，以及不同长期方差估计对检验水平的影响等[5—7]。如何像改进单位根检验一样，改进趋势项检验量，以提高趋势项检验功效，也具有研究价值。

现有经典单位根检验以及趋势项检验总是一次性使用所有样本构造检验量，这种构造方法很难挖掘出潜在的结构突变信息，一种改进方法是采用递归估计，取上确界得到最终检验量。Phillips等（2011，2015）[8,9]将该方法用于识别资产价格是否存在泡沫行为，构造SADF和GSADF检验量。Shi等（2018）[10]将递归估计模式引入Granger因果检验，取得了良好检验效果。受到这些研究的启发，本文尝试将递归估计方法引入KPSS 趋势项检验中，研究检验量的构造、大样本分布性质与检验效果。

1 KPSS检验一般趋势模型递归上确界趋势项检验量构建

1.1 递归估计KPSS检验趋势项t检验量的构建与其渐近分布

设数据生成过程包含的最高趋势项不超过tm-1，即趋势模型如式（1）所示：

其中，T为样本容量。为便于叙述，本文假定εt和ut均为独立同分布过程，相关结论也可以推广到两个扰动项为一般稳定过程。记=0，Var。对趋势项tm-1构建检验假设“H0：bm-1=cm-1”和“H1：bm-1≠cm-1”。特别地，当cm-1=0 时，可以识别趋势类型。下文研究显示，趋势项检验量分布与序列yt是否平稳有关，当序列yt为趋势平稳过程时，原假设“H0：=0”成立，否则备择假设“H1：＞0”成立，表示序列yt为单位根过程，为此需要分类讨论。设et为下列回归模型（2）的残差。

其中，se(·) 表示标准误差。令，其中。令表示弱收敛，记分别表示由扰动项εt、ut生成且定义在[0 ，1] 上的布朗运动，令ds，则以下定理1成立。

定理1：设数据生成过程和估计模型分别为式（1）、式（2），检验假设“H0：bm-1=cm-1”，当原假设“H0：=0”成立时，有：

当备择假设“H1：＞0”成立时，有：

运算得到：

当原假设“H0：=0”成立时，有βm)。利用式（7）的结论得：

从而得到使用样本[T1，T2] 时的扰动项方差估计σ̂ε2及其概率极限为：

据此得估计量的标准误差：

将式（7）和式（8）代入式（3），由Slutsky 定理知式（4）成立。

当备择假设“H1：＞0”成立时，计算表明：

利用这些结论得：

据此得估计量标准误差的极限分布为：

将式（9）和式（10）代入式（3），由Slutsky 定理知式（5）成立，故定理1成立。

定理1 显示，当数据生成过程（1）的趋势项不超过估计模型（2）最高趋势项时，最高趋势项t检验量的分布取决于估计模型设置，即无论bm-1=0 是否成立，定理1 都成立。根据定理1，可以检验趋势项系数cm-1=0 是否成立，从而得到推论1。

推论1：在定理1 中，如果检验系数“H0：bm-1=cm-1=0”，那么当“H0：=0”成立时，有：

当“H1：＞0”成立时，有：

利用这两个分布可以逐步检验模型（1）中的趋势项是否显著为0，从而确定模型中趋势项的类型。如果趋势项系数bm-1=cm-1≠0，那么推论1结论转为如下推论2。

推论2：在定理1 中，如果检验系数“H0：bm-1=cm-1≠0”，那么当“H0：=0”成立时，有：

当“H1：＞0”成立时，有：

其中，Op(·) 表示依概率有界。推论2 用于讨论当cm-1≠0 而误认为cm-1=0 并执行检验时，递归估计趋势项t 检验量的性质。推论2 表明，当“ H0：=0 ”成立时，所有趋势项系数b0，b1，…，bm-1的t 检验量绝对值趋于无穷大，从而拒绝原假设有较高的检验功效；当“ H1：＞0 ”成立时，除系数b0外，其他趋势项系数b1，…，bm-1的t 检验量绝对值都趋于无穷大，从而也有较高的检验功效。

1.2 递归估计上确界趋势项t检验量构建与渐近分布

通过选择估计样本起点T1和终点T2，可以构造广义递归估计上确界趋势项t 检验量。以“H1：”成立为例，记广义递归估计上确界趋势项t 检验量为，则递归估计趋势项t 检验量构造方法和服从分布如下：

其中，sup 表示取上确界函数，该函数为连续函数，根据连续映射定理可知上述分布成立。

如果初始估计样本点T1固定为第一个观测，即r1=0，那么可得到狭义递归估计上确界趋势项t 检验量，记为stm(r0)，即：

进一步地，固定估计样本终点T2为最后一个观测，即r2=1，得到经典无递归估计趋势项t检验量，记为tm，即窗宽参数r0=1，从而有：

式（17）表明所有趋势项系数t 检验量都为Op(T12)，与趋势项类型阶数m无关，这与文献[2]结论不同。正如上文所说，文献[2]检验量的构建是为了消除扰动项方差影响，并非严格意义上的t检验量构造模式。当“H0：=0”成立时，也可以类似构造趋势项t检验量，此时检验量分布为标准分布，限于篇幅，本文不再分析。

鉴于宏观经济序列的趋势项一般不超过二次，本文考察m分别取1、2 和3 时趋势项检验量的临界值。依据KPSS 单位根检验流程，需要分别检验假设“H0：b2=0”“H0：b1=0”“H0：b0=0”是否成立。当“H0：=0”成立时，根据推论1，上述三个检验量的分布可以使用正态分布临界值；当“H1：＞0 成立”时，三个趋势项检验量服从非标准分布，需要使用模拟方法重新获得临界值，下文模拟分析仅对这种情况进行研究。

2 蒙特卡洛模拟

2.1 临界值模拟

由于递归估计上确界检验量分布与窗宽r0有关，不失一般性，本文窗宽取值分别为0.3、0.4 和0.5，样本容量分别为20、40、60、80、100、120。根据推论1，趋势项系数检验量分布与取值无关，不失一般性，b0、b1、b2分别取0.01、0.50和0.01。限于篇幅，本文只给出“H1：＞0”时检验量的临界值。设置模拟次数为5万次，扰动项εt和ut服从标准正态分布，且相互独立。本文仅列出2.5%和97.5%分位点的模拟值，对应5%显著性水平上的临界值，相关检验量的临界值见表1。表1每个窗宽第一行和第二行分别对应2.5%和97.5%分位点临界值，分别称为下限和上限。由表1 可以得到4 点结论：第一，由于检验量t0、t1、t2不存在递归估计与初始样本选择，因此临界值与窗宽r0无关。下限和上限随样本容量增大分别呈现下降和上升趋势，但趋势趋缓，这与检验量在大样本下的分布吻合。第二，固定样本容量，gst0、st0的上、下限随窗宽增加而下降，这是因为窗宽增加，递归估计次数减少，可能失去检验量取较大值的机会。类似地，检验量gst1、st1、gst2、st2也有相同的结论。第三，同时固定样本容量和窗宽r0，无论是上限还是下限，对于常数趋势项t 检验临界值来说，都有gst0值最大，t0值最小，而st0值居中，这是因为gst0检验量使用样本个数最多，包括st0检验量使用的样本，而后者又包括t0检验量使用的样本。该结论也适用于检验量量gst1、st1、gst2、st2对应的临界值。第四，非递归估计检验量t0、t1、t2的上、下限临界值近乎为相反数，趋于对称，而所有递归估计模式的上确界检验量上、下限对应的临界值明显呈现非对称特征。

表1 趋势单位根模型下三种趋势项t检验量临界值

2.2 检验水平与检验功效模拟

为考察检验水平和检验功效，对常数趋势、线性趋势和二次趋势分别设置三种结构突变数据生成模式，分别如式（18）、（19）和（20）所示：

其中，ξt=ξt-1+ut；I(·) 为指示函数，条件成立取1，否则取0。称三种突变模型分别为全局、一次和两次结构突变模型，本文一次和两次是指发生突变的次数，不是指趋势项的次数。估计三个模型如下：

在模型（21）、（22）和（23）中，分别检验假验设“H0：b0=0”“H0：b1=0”“H0：b2=0”。当β0、β1和β2分别为0时，三种结构突变模型分别退化为无趋势、常数趋势和线性趋势模型，此时原假设成立，对应检验水平。若三个参数不为0，则原假设不成立，此时对应检验功效。不失一般性，设置β0=10 、β1=1、β2=0.05 ，τ0=0.8 、τ1=0.6 、τ2=0.8，模拟次数为1万次，样本容量分别为20、40、60、80、100和120，模拟使用临界值来自表1。

表2 给出了原假设成立时检验水平的模拟结果。考虑到模拟的随机性，当显著性水平为5%时，计算表明，模拟次数为10000 次和95%置信度对应的名义检验水平的区间估计为(4.57%，5.43%)。表2显示，分别有一次模拟水平低于下限和高于上限，本文用添加下划线标识，分别为4.55%、5.52%，其他模拟水平都落在上述区间之内。因此，模拟结果显示，递归估计上确界趋势项检验量gst0、st0、gst1、st1、gst2、st2和经典非递归估计趋势项检验量t0、t1、t2一样，都具有满意的检验水平。

表2 三种检验量检验水平模拟结果(单位：%)

下页表3 和表4 分别给出当窗宽为0.3 和0.4 而β0=10、β1=1、β2=0.05，τ0=0.8、τ1=0.6、τ2=0.8 时，检验假设“H0：b0=0”“H0：b1=0”“H0：b2=0”的模拟结果。

表3 窗宽为0.3时三种检验量检验功效的模拟结果（单位：%）

表4 窗宽为0.4时三种检验量检验功效的模拟结果（单位：%）

以表3为代表进行解释，由表3可知：

第一，在每种样本和窗宽参数组合下，递归估计上确界趋势项检验量和经典非递归估计趋势项检验量的检验功效在全局突变结构模型最高，两次结构突变模型检验功效最低，而一次结构突变模型检验功效居中。这是因为全局结构突变为全样本突变，突变持续时间最长，而其他两种都是局部结构突变，持续时间较短。虽然本文一次突变和两次突变样本比例相同，都为20%，但两次突变破坏了参数连续性，因此功效较低。第二，当为常数趋势估计模型时，检验假设“H0：b0=0”。在三种突变结构中，检验量st0的检验功效最高；当为两次结构突变时，gst0的检验功效高于t0检验功效，在一次结构突变时，gst0与t0的检验功效互有优势。在一次趋势和二次趋势估计模型中，检验量t1、t2的检验功效仅在全局突变结构且样本容量较小时表现较好，而在一次和两次结构突变中，检验功效几乎都为0，但检验量gst1与st1、gst2与st2在一次结构突变中仍具有满意的检验功效，尤其是在样本容量达到40 以后。第三，在两次结构突变模型中，递归估计趋势项检验量和非递归估计趋势项检验量的检验功效都十分低下，其中非递归估计趋势项检验量的检验功效最低，绝大多数取值为0，而递归估计趋势项检验量功效都大于零，且st0、st1、st2的检验功效高于检验量gst0、gst1、gst2的检验功效。第四，在全局突变结构模型中，检验量gst0、st0、t0的检验功效随着样本容量增大而下降，而检验量gst1、st1、t1与gst2、st2、t2的检验功效随着样本容量增大而上升。例如，gst0的检验功效按照样本容量的变化分别为81.51%、60.93%、45.43%、33.51%、26.62%、24.55%，gst1的检验功效分别为86.38%、99.89%、100%、100%、100%、100%，gst2的检验功效分别为7.25%、99.84%、100%、100%、100%、100%。根据推论2 的公式（14），此时这些t检验量分别与等价，故样本容量越大，前者越小而后两者越大，特别地，检验量gst2、st2、t2的检验功效随着样本容量增大上升更快，例如，当样本容量从20 增加到40 时，检验量gst1、gst2的检验功效分别从86.38%、7.25%上升到99.89%和99.84%。全局结构突变检验功效的模拟结果符合推论2的理论结果。

显然，上述4个结论同样适用于表4，这说明窗宽选择对检验功效影响不大，不会出现因窗宽选择不同而改变检验结论的情况。

3 结论

将递归估计方法引入KPSS 单位根趋势项检验量中，构造两种递归估计上确界趋势项检验量，推导大样本下的极限分布和性质，并进行模拟分析，得到如下结论：

（1）理论研究表明，无论是“H0：=0”还是“H1：＞0”成立，递归估计上确界趋势项检验量和非递归估计趋势项检验量在大样本下都收敛到维纳过程的泛函，但与已有KPSS 单位根检验的趋势项检验量分布不同，且递归估计上确界趋势项检验量分布中包含窗宽参数，因而需要使用蒙特卡洛模拟方法获得临界值。

（2）临界值模拟显示，广义递归估计上确界检验量gst0、gst1、gst2的临界值最大，狭义递归估计上确界检验量st0、st1、st2的临界值次之，非递归估计检验量t0、t1、t2的临界值最小。两种递归估计上确界趋势项检验量下限和上限并不对称，而非递归估计趋势项检验量下限和上限呈现对称性。

（3）水平模拟表明，除极少数场合，递归估计上确界趋势项检验量和非递归估计趋势项检验量一样，具有满意的检验水平。

（4）功效模拟显示，三种趋势项检验量检验功效按照全局突变、一次突变和两次突变依次递减。在全局突变中，检验量的检验功效随样本容量变化的规律符合理论研究结果。相比较而言，狭义递归估计上确界趋势项检验量st0、st1、st2的检验功效在绝大数情况下占优，gst0、gst1、gst2的检验功效在样本较大时与st0、st1、st2相当。t0、t1、t2的检验功效仅在较小样本且全局突变时占优，在一次突变和两次突变情况下的检验功效近乎为0，说明递归估计上确界趋势项检验量具有优越性，能起到改进作用。