PISA 2022 数学推理分析与启示——以样题为例

王邵懿琳 朱 雁

（华东师范大学教师教育学院 上海 200063）

PISA （Programme for International Student Assessment）是经济合作与发展组织（简称OECD）发起的、全球范围内影响最广的国际测评项目之一，主要评估15 岁学生运用阅读、数学和科学知识与技能应对现实生活挑战的能力。自2000 年起，PISA每隔3 年进行一次修订和测评，数学作为主测科目，经历了PISA 2003、PISA 2012 和PISA 2022。［1］与前两次测评相比，PISA 2022 数学测评框架在数学素养定义、测评内容的组织以及数学素养评估方面均做出了大幅更新，主要表现为PISA 2022 框架突出数学推理在问题解决中的核心地位，强调真实的数学情境以及21 世纪技能。

一、引言

我国《义务教育数学课程标准（2022 年版）》将“推理意识”作为小学阶段的核心素养之一，其定义为：对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。在初中阶段，相关的核心素养进一步提升为“推理能力”，其定义为：从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。［2］与此同时，《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》也明确将“逻辑推理”作为数学学科的六大核心素养之一。［3］美国州立数学核心标准（Common Core State Standard for Mathematics，简称CCSSM）也提出对数学推理的要求：抽象化、量化地进行推理，构建可行的论证，评判他人的推理。全美数学教师协会（National Council of Teachers of Mathematics，简称NCTM）将“推理与证明”作为学校数学原则与标准的五项原则之一。［4］新加坡《2021 年版数学大纲（小一到小六）》［2021 Mathematics Syllabus（Primary 1 to 6）］则强调发展关键的数学过程，包括推理和交流。［5］数学推理的重要性在很多国家的课程标准中都有体现，重视数学推理能力的培养与测评是世界各国教育的共同诉求。可见，PISA 2022 突出数学推理在问题解决中的核心地位是大势所趋。

二、PISA 2022 对“数学推理”的界定

（一）PISA 2022 对“数学推理”的界定

从PISA 2012 到PISA 2022，在对数学素养的定义、问题解决周期模型构建的变化中，我们也能够发现数学推理在PISA 2022 中的核心地位。

PISA 2022 在对数学素养进行定义时，将数学推理调整到了个人能力的首要位置，凸显数学推理在此次测试中的核心地位，强调在真实情境中解决数学问题，而不局限于纯数学的情境，首次在数学素养的定义中提出了“21 世纪公民”的概念。［6］PISA 2022 在数学素养的定义中增加“数学推理”和“问题解决”两个重要概念。数学素养在运用数学解决实际问题方面发挥着重要作用，而数学推理（包括演绎推理和归纳推理）不仅在问题解决中处于核心地位，还在用数学方法“对社会问题做出明智的判断，通过考虑信息的数量和逻辑含义来判断信息的有效性”中发挥着重要的作用，数学推理有助于发展21 世纪技能。

在问题解决模型的构建方面，PISA 2022 也做出了大幅的调整。在PISA 2012问题解决模型中，“表达”“应用”“解释与评价”是三个独立的、逐步递进的阶段。而PISA 2022 指出，从真实情境向数学问题的转化需要数学推理，问题解决的知识和策略的选取需要数学推理，对结果的解释与评价也需要数学推理。数学推理由此成为主线，贯穿问题解决的全过程，可见数学推理在问题解决模型中的核心地位。

为此，PISA 2022 特别增加了对数学推理能力的考查。与PISA 2012 相比，“表达”和“应用”环节的测试占比仍是25%，而“解释与评价”环节的测试占比由原来的50%下调至25%，增加“数学推理”环节的测试，其占比为25%。这一重大调整将PISA 数学测试框架对数学推理的重视落实到了实际测试中。

（二）PISA 2022 推理样题分析

数学推理涉及评估情境、选择策略、得出逻辑合理的结论、制定和描述解决方案以及应用解决方案。数学推理是数学素养的核心，PISA 2022 框架考查了数学推理的六大核心要素：理解数量、数系与代数特征，理解抽象概念与符号表征，认识数学结构与规则，识别数量间的函数关系，用数学模型构建现实世界，理解变异是统计的核心。自PISA 2015 基于计算机的评价交付使用以来，PISA 2022首次将基于计算机的数学评价作为评估数学素养的测试形式，其好处是计算机能够给予学生及时的反馈和必要的提示。［7］下文结合三道样题具体分析此次测试如何考查学生的数学推理能力。

1.三角图案

问题：Alex 绘制了如图1 所示的黑白相间的三角图案，前四行已给出。

图1 三角图案

（1）前四行中黑色小三角形所占的比例是多少？

（2）如果Alex 要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是多少？

（3）如果Alex 要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？

分析：本题源于科学情境，设计了逐步递进的三个子问题，并以计算机交互的形式呈现，考查学生的推理能力。学生首先需要根据题中信息进行简单计算，进而抽象出第五行和更多行的图案，这两步都需要数学推理，需要理解抽象概念与符号表征。

问题（1）需要学生进行简单运算，属于“数量”1a 级精熟度的简单题，主要考查学生的应用能力。问题（2）需要学生思考题干以外部分的图案，需要学生具有一般化的能力，属于“变化与关系”2 级精熟度的简单题，主要考查学生的表达能力。问题（3）需要学生在前两道题的基础上将图形一般化，分析图案，发现每一行中黑色和白色小三角形之间的数量关系，依据每一行中两种颜色三角形的数量关系推理整个图形中黑色小三角形所占的比例，属于“变化与关系”4—5 级精熟度的难题，主要考查学生的推理能力。

2.球赛得分

问题：《西兰岛时报》报道：泽德兰篮球队赢得了赛季的每场比赛，本赛季平均领先19 分。在本赛季边际胜利已知的情况下，该队有没有可能从未以19 分的分差在任何一场比赛中胜出？为什么？

分析：本题来源于社会情境，需要学生用数学模型抽象现实世界，属于“不确定性与数据”5—6 级精熟度的难题。问题是一个抽象推理题，在本题中并没有给出球队每一场的比分，学生并不能直接通过计算得出结论，要求学生根据自己对平均数（即算术平均数）概念的理解，选择“是”或“否”，并给出合理的解释。

3.森林面积

问题：在这一单元，你将用电子表格来回答与森林生态系统相关的一系列问题。在下一页中你将练习如何使用电子表格。

练习中学生必须执行指定操作，熟悉电子表格的功能，包括对列进行排序，对任意两列中的数据执行计算（加、减、乘或除法），以及生成任意列的平均值。每项操作都附带如何使用该工具来完成该操作的说明，并且每项操作必须在显示下一个指令之前完成。只有在所有三个指令都完成后，才能进入下一页。

练习结束后，学生们会看到使用说明页，每小问都可以通过点击文本栏“如何使用电子表格”来访问说明页，随后进入正式的测试阶段。本样题四个小问的具体问题设置如图2 所示。

图2 森林面积

分析：本题源于社会情境，设计了四个子问题，并以计算机交互的形式呈现，考查学生的推理能力，学生需要理解数量、数系与代数特征，并利用数量关系推理得到正确答案。

问题（1）主要考查学生的表达能力，需要学生用电子表格进行简单的减法运算，即“D 列－B 列”，属于“不确定性与数据”4—5 级精熟度的难题，其难度主要来自计算的顺序，如果学生用“B 列－D 列”，则符号颠倒，判断难度增加。问题（2）主要考查学生的解释与评价能力，属于“不确定性与数据”5 级精熟度的难题。学生们必须再设计一个使用电子表格的策略，需要灵活地使用电子表格，根据表格正确地在问题的背景下解释“变化”，学生执行的操作以及执行操作的顺序不同，可能会导致选择的不同。［8］问题（3）主要考查学生的解释与评价能力，属于“不确定性与数据”4—5 级精熟度的难题。学生们必须再次设计一个使用电子表格的策略，一次执行多个操作后才能根据情境评价结果。难点是认识到“最大的变化”不仅意味着增加，还可以是在不同时间段之间，森林面积百分比降幅最大。此时计算顺序并不影响结果，本质是寻找变化的绝对值，而不是百分比的增加或减少。问题（4）主要考查学生的推理能力，属于“不确定性与数据”6 级精熟度的难题。本题要求学生通过发现现有数据的局限性来判断观点是否正确，即学生必须认识到，题干并没有给出每个国家的国土面积，而学生需要理解森林面积百分比是森林面积与国土面积的比值。在题干缺乏明确的支撑信息时，学生根据自己已有的知识进行推理是一件困难的事。

三、PISA 2022 中“数学推理”的数据分析——以样题为例

本部分将探究PISA 2022 测试中学生的数学总体表现，并选取东亚6 个国家和地区（新加坡、中国澳门、中国台北、中国香港、日本、韩国）为例进行具体比较。根据学生对样题的回答情况，分析学生推理能力的表现以及不同精熟度的学生推理能力的差异。由于推理能力是本次测评框架的核心，也将探索推理能力与其他过程维度分项及内容维度分项的关系。

（一）东亚6 个国家和地区的总体表现

由于在PISA 测评中，东亚6 个国家和地区的表现一直处于领先位置，选取其学生数据进行分析，具有一定借鉴意义。

表1 东亚6 个国家和地区的总体表现

在PISA 2022 测评中，东亚6 个国家和地区仍处于领先地位。与PISA 2018 相比，中国澳门和中国香港的数学表现略有下降，但仍具有领先优势。 除了在解释与评价、空间与图形分项上，日本的平均分略高于中国香港的平均分，这6 个国家和地区在过程维度的均分、内容维度的均分排名与数学表现的排名一致，表明东亚学生各方面数学能力、内容知识发展较为均衡。将这6 个国家和地区的数学推理能力均分与OECD 均分进行t 检验，结果显示，东亚学生数学推理能力均分与OECD 均分差异显著［t（df= 5）= 11.36，p < 0.001］，推理能力优异。

（二）推理能力表现及其与精熟度的关系

本研究将学生的精熟度分为9 个等级（低于1c、1c、1b、1a、水平2、水平3、水平4、水平5、水平6）。东亚6 个国家和地区在数学推理能力上的表现优异，本研究依据样题得分情况、学生精熟度分析学生推理能力的表现。

1.不同精熟度水平的学生推理能力差异较大

以6 个国家和地区的学生在三角图案的第三小问中的得分情况为例，处于1a、1b 精熟度的学生都是零分，1c 精熟度的学生有极少部分能拿到满分，且精熟度越高，拿满分的学生比例就越多，这说明推理能力与学生的精熟度呈正相关。但精熟度最高的学生仍有零分的情况，这说明即使是精熟度最高的学生也不能从问题中抽象出数学问题的本质，因此面对有挑战性的问题时，教师及时帮助学生深入地理解，并清楚地交流他们的推理是十分必要的。

2.学生在不同题型中推理能力表现差异较大

在三角图案题中，随着学生精熟度的提升，得满分的学生比例提高，得零分的学生比例大幅减少，回答部分正确的学生比例随着精熟度的升高先增加后减少，但维持在10%的水平。值得注意的是，在精熟度最高的学生中，仍有25.52%的学生为零分，这表明精熟度高的学生的推理能力也有待提高。

在球赛得分题中，学生得分的总体趋势与三角图案题相仿，但精熟度最低的学生得零分的比例比精熟度最高的学生低6.78 个百分点，且精熟度最高的学生得满分的比例和得零分的比例接近，这说明同一精熟度的学生在推理能力上差异显著。

在森林面积题中，学生得分情况总体趋势与前两题相仿，但最低精熟度的学生在本题中的数据极少。可能的原因是，学生在完成前面三个小问时已经遇到困难，不能在规定时间内完整地完成此问题，说明学生在过程维度的四个能力都有待提高。

表2 6 个国家和地区得分情况统计表

值得注意的是，学生在三角图案中获得满分的比例最高，说明学生对科学情境中的空间与图形内容掌握较好，这可能是因为在本题的前两个小问中已经展示了前五行三角形之间的数量关系，学生能够利用已有的图形进行推理，有一定的推断基础。而在涉及真实情境的比分题中，学生得满分的比例最低，说明学生从真实情境中进行抽象推理，归纳出数量关系、代数性质的能力较弱。在同样涉及真实情境的森林面积题中，不同精熟度的学生在得分情况上差异显著，精熟度低的学生很难在真实情境中进行抽象推理。由于此题没有森林面积的计算过程，学生不能抽象出森林面积与国土面积的数量关系，发现问题的本质。

因此，关注不同精熟度学生的推理能力提升，缩小相同精熟度下学生推理能力的差异，提升在不同情境内容中，学生发现问题本质、进行合理推断的能力对提高学生学业表现十分重要。

（三）推理能力与其他过程维度及内容维度的关系

1.推理能力与其他过程维度关系显著

由相关分析可知，推理能力与过程维度的“表达”“应用”“解释与评价”能力显著正相关。数学推理能力是一种较为高级的思维能力，需要学生理解数量、数系与代数特征，理解抽象概念与符号表征，认识数学结构与规则，识别数量间的函数关系，用数学模型构建现实世界，理解变异是统计的核心。数学推理与过程维度其他指标相关性高，也能够说明数学推理作为问题解决的核心，能够驱动表达、应用、解释与评价。

2.推理能力与内容分项关系显著

由相关分析可知，推理能力与“变化与关系”“数量”“空间与图形”“不确定性与数据”显著正相关。PISA 2022 数学素养测评框架数学学科内容强调了4 个主题，分别为数量领域计算机仿真主题、不确定性与数据领域突出条件决策主题、变化与关系领域突出增长现象主题、空间与图形领域突出几何估计主题。而计算思维、决策、几何估计都离不开数学推理，从数学推理与数学内容的强正相关可以看出，数学推理在数学内容的理解、内化和深入中是不可或缺的。

四、对我国数学教育的启示

（一）加深学生对概念的理解

概念、判断、推理是逻辑思维的三种基本形式。概念理解是数学推理得到准确结论的基础，明确了概念的内涵与外延后，才能研究这个概念有哪些性质、与其他概念之间有什么关系。［9］例如，在“数量”“不确定性与数据”两项内容上，学生对算术平均数、森林面积的数据概念理解不透彻，导致无法做出正确的推理。PISA 2022 测评框架也强调了数学推理对六种核心要素的理解，这启示教育者需要让学生经历概念发生过程。任何一个概念的形成都需要经过修正、补充，教师可以从真实情境、历史材料等角度出发，让学生在学习中自己归纳出概念的定义后，再给出严谨的定义，引发学生思考两个定义之间的差异，加深对概念本质、性质的理解。对测试结果的分析显示，概念理解与推理能力是密不可分的，学生在理解概念的基础上才能做出正确的推理，在进行推理的过程中才能够加深对概念本质的理解。

（二）关注学生差异，满足学生需求

学生的学习方式、学习速度、已有知识结构存在客观的差异，导致学生在学业表现上存在差距，这就要求教师设计个性化的课堂，满足不同学生的需求，缩小学生的差距。从测评结果可以看出，东亚6 个国家或地区在数学推理能力上的表现突出，但不同精熟度的学生在同一问题中的表现却有很大差异，学生从真实情境中进行抽象推理的能力较弱。《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》明确提出，学生需要具备逻辑推理的能力，因此，我国教师也需要关注学生个体的差异，针对学生不同能力发展的水平，为学生提供必要的支持，帮助学生实现能力的提升。

（三）在情境中理解数学

PISA 测评一直以来都十分重视问题情境。PISA 2022 着重考查了学生在灵活多变的情境中解决数学问题的能力［10］，但结果显示，学生在从真实情境中抽象出问题本质再进行合情推理的过程中，普遍感觉较为困难。情境是数学问题的载体，数学推理是问题解决的核心，因此，我国也需要加强真实情境的应用，引导学生用数学方法描述现实情境，再展开运算或证明，最后将结果放在现实情境中进行解释。在情境中，学生可以经历数学推理的全过程，感知、理解、掌握推理的方法，并且真实情境能够调动学生已有的数学知识，帮助学生建立完整的知识体系。