多透镜组近轴隐形条件的理论和实验探讨

余林萱,李陆洋,王娟娟,夏 霖,卢礼萍,葛梦炎

(1. 南京农业大学 理学院,江苏 南京 210095;2. 海宁市紫微高级中学,浙江 海宁 314400 )

电磁波隐形在科学研究和文化领域都具有很大的热度,例如,隐身飞机和隐形斗篷等. 近些年来,对光学隐形的讨论也逐渐受到国内外学者的关注,其研究结果对未来光学发展有着深刻的启示作用. 在变换光学领域,已经有学者发现应用负折射率材料可以将光波绕过目标物体,从而在视觉上达到“隐形”的效果. 目前,人们在利用人工负折射率材料实现隐形方面,已经取得了一定的突破[1-3]. 然而这种负折射率材料存在取材难的问题. 除了负折射材料在隐形方面的应用外,基于几何光学隐形的方法也引起了关注. 最常见的方法是利用多透镜组实现近轴隐形,该方法简单而且便于操作. 2014年,Joseph S. Choi[4]等人提出了利用透镜组实现光路方向的变化,并且利用光线传输矩阵实现了四透镜对称情况下隐形区域的探究. 2020年Alicia Fresno-Hernández[5]等人进行了进一步的设计,扩展了四透镜对称组,研究五透镜组的相关性质并实现了隐形的目的. 2021年,王晨阳[6]等人对四透镜隐形区域进行了测量和研究,并更精确地给出了隐形范围.

在几何光学的隐形条件探究方面,利用矩阵进行计算时的工作量较大,并且不容易进行精确化处理. 光学隐形作为2022年CUPT的一道赛题,笔者在研究时,利用Matlab软件对复杂的矩阵进行数值计算,并采用图像交叉取点的方法更简便地求解隐形条件. 另一方面,根据计算结果,本文搭建四透镜和五透镜组来测量近轴隐形范围,并验证理论分析. 最后利用COMSOL软件,考虑透镜厚度的情况下,对四透镜和五透镜对称组的几何光学进行了模拟,获得的近轴近似条件下的隐形范围,并与实验测量进行了对比分析.

1 透镜隐形条件

多透镜组通过特定排列后,使得从近轴特殊范围内物体发出的光无法达到观察区域,从而达到隐形的效果,如图1所示. 根据光的传播矩阵理论,在近轴近似条件下,单个透镜和空气的传播矩阵是

(1)

图1 透镜隐形效果

其中f为透镜焦距,凹透镜为负,凸透镜为正,t表示光程. 对于多个透镜组,系统在几何光学的背景下,采用“近轴近似”原理对光线进行线性分析,即假设当光线与光轴中心夹角很小时,光线不发生偏折. 此时透镜组达到的隐形条件可用光线传输矩阵(ABCD矩阵)所表示[4,5]

(2)

上式中L是光程总长,n是空气折射率取1. 接下来讨论如图2所示的4透镜对称组合,Li(i=1,2,3)定义为区间,tj(j=1,2)为透镜之间距离,此时式(2)中L=2t1+t2,fj(j=1,2)是透镜焦距.

图2 四透镜对称组示意图

接下来求解式(2),首先建立4个方程组,令透镜焦距f1和f2为常数,在忽略透镜厚度的情况下求解符合4个方程的间距t1和t2数值解. 这里,我们利用Matlab的Solve 函数求解式(2)中的A、B、C、D4个方程,得到将t1作为变量的t2函数,具体方程形式如式(3)所示.A、B、C、D4个方程中,每个方程对应的有两个解,t1和t2值只需满足其中一个解即可.

(3)

分析式(3)中解的形式发现,tA1能同时满足A、C、D等式,tB2满足B方程. 因此只要满足矩形框中的两个方程的t1和t2值,就是隐形条件的解. 为了方便求解,作两个方程曲线,如图3所示,这里取f1=150 mm,f2=50 mm. 求得两曲线交叉点对应的是t1=t2=200 mm.

图3 四透镜对称组t1和t2隐形条件

图4 透镜对称组合装置示意图

讨论五透镜对称组时,建立如下实验装置

同样地,将t1作为变量,通过式(2)A、B、C、D方程的求解,这里总长L=2(t1+t2).

(4)

分析式(4)解的形式,因为A方程和D方程的解是完全相同的,即G1(t2)=J1(t2),G2(t2)=J2(t2),记作G(t2)=J(t2),C方程的第一个解I1与A方程的第一个解G1相同,因此I1的解可以同时满足A、C、D方程. 通过作图得知,B方程的第一个解H1与I1无交点,H2与I1存在一个交点. 为了验证该方法的可行性,取文献中五透镜组的透镜参数[5],f1=200 mm,f2=75 mm,f3=-150 mm 得到I1与H2两曲线的交点是t1=290 mm,t2=147 mm,见图5(A),与文献一致. 本实验中透镜参数取f1=150 mm,f2=50 mm,f3=-100 mm,相交点为t1=210 mm,t2=92 mm,见图5(B).

图5 五透镜对称组 t1和t2隐形条件

2 多透镜对称组隐形实验与模拟

按照四透镜计算的数值结果设置透镜位置,如图6所示. 其中用固定的手机摄像功能来观测隐形效果. 实验发现在L2和L3区域均存在较大范围的隐形区域.

图6 四透镜实验

对四透镜的3个区域进行测量发现,L1区域也有一定的隐身范围,但是范围较小,可以忽略. 对L2和L3隐形范围进行测量,结果见图7.

图7 L2(A)和L3(B)区间的隐形范围测量

图7中的阴影部分为隐形区域,其中最大隐形位置出现在离3号透镜约15 cm和离4号透镜约14 cm处. 为了验证四透镜隐形效果,用COMSOL对该参数下的几何光路进行了模拟,如图8所示. 模拟时,取透镜直径为40 mm,厚度为3 mm.

图8 四透镜对称组的COMSOL模拟

模拟结果显示在L2和L3区间出现范围较大的隐形,最大隐形位置出现在离4号透镜150 mm和350 mm处,与实验结果吻合.

对五透镜对称系统,按图3排列透镜,透镜和间距参数已由计算给出. 图9是测量的L4的隐形范围,其他区间隐形效果不明显,这里没有进行测量. 图9可以看出物体在透镜L4的隐形区间内,物体离五号透镜距离约为14.5 cm时隐身范围较大,此时在靠近光轴的位置处也能实现完美隐身.

图9 L5区间的隐形范围

五透镜的COMSOL光路模拟见图10所示,模拟同样取透镜直径为40 mm,厚度为3 mm,其他参数则根据计算结果选择. 模拟结果显示离透镜5距离约为151 mm,光斑横截面半径最小约为56.5 μm,为隐形范围最大位置,与实验中完美隐形位置近似. 实际情况中,光学隐形受到透镜的厚度、直径、焦距等不同参数的影响,因此计算,实验和模拟的结果略有差别.

图10 五透镜对称组的COMSOL模拟

3 结论

本文根据光传播矩阵隐形条件,在分析A、B、C和D方程组解的特点的基础上,采用图像交叉的方法获得了四透镜和五透镜对称组满足隐身条件的透镜间距参数. 另一方面,根据计算结果搭建了两透镜系统,并利用COMSOL软件模拟了两系统的光路图,从实验和模拟的角度测量和分析隐形区间. 结果表明在四透镜组的L3区间和五透镜组的L4区间均呈现出“沙漏”状的隐形区域. 由实验测量和模拟获得的最大隐形位置基本一致,四透镜组位于里四号透镜约14 cm处,五透镜组位于距五号透镜约15 cm处.