索道用钢丝绳轴向弹性模量有限元仿真研究

周剑青，屈福政，祝德强，张再斌

（大连理工大学机械工程学院，辽宁 大连 116024）

1 引言

客运索道具备适应复杂地形、成本低等优势，通常用于旅游景区、滑雪场等地点［1］。目前客运索道主流型式为单线循环脱挂式索道［2］，与其他类型索道的区别在于脱挂式索道可通过抱索器的特殊结构与钢丝绳分离，安全性高、运输效率高。索道用钢丝绳是这种索道最核心的承载和传动部件，其性能直接决定着索道系统的性能和安全，而轴向的弹性模量则是这种钢丝绳重要的力学特性。

国内外学者早期研究方向主要是通过解析法建立钢丝绳刚度矩阵以描述钢丝绳力学特性［3-5］。近年来越来越多学者利用商用有限元软件对钢丝绳进行建模分析。文献［6］建立了二次捻制的钢丝绳有限元模型，讨论了自扭转系数对钢丝绳捻制成形应力应变的影响，发现非零自扭转系数钢丝绳加工剪切应力和塑性变形较小的结论。文献［7］通过ANSYS建立了忽略钢丝间摩擦的6×19 IWS钢丝绳轴向拉伸有限元模型，得到股内钢丝应力呈螺旋状分布，同向捻钢丝绳侧丝应力明显高于交互捻钢丝绳的结论。文献［8］通过CATIA 建立多层捻制钢丝绳几何模型，导入Abaqus对钢丝绳承受拉伸载荷的情况进行仿真，并与文献［9］中的单捻钢丝绳理论计算结果及试验数据对比以验证计算准确性。文献［10］提出一种多股钢丝绳弯曲状态力学模型，同时利用Abaqus进行有限元仿真，并且设计了一台钢丝绳弯曲变形测量装置，对比理论计算值、仿真计算值和实验值发现理论计算与实验结果更为接近，验证了力学模型的正确性。文献［11］通过Abaqus对6×7 IWRC钢丝绳圈进行准静态压缩分析，模型中采用了基于罚函数的通用接触，研究发现钢丝绳截面的等效应力云图呈层状分布，钢丝绳圈承受压缩荷载时失效形式与圆环相似。

综上所述，现有文献为采用有限元法分析钢丝绳的力学性能奠定了基础，但索道用压实股钢丝绳与一般钢丝绳相比，无论是钢丝的接触状态还是填充率都有明显的不同，因此有必要对某索道用钢丝绳的轴向拉伸性能进行有限元仿真研究。

2 钢丝绳三维模型

以直径为48mm的6×K31WSR索道用压实股钢丝绳为研究对象，钢丝绳参数与截面形状，如表1、图1所示。

图1 钢丝绳截面Fig.1 Cross Section of Wire Strands

2.1 螺旋线参数方程

钢丝绳通常由若干侧股绕着绳芯捻制而成，侧股又由多层钢丝围绕股中心钢丝螺旋缠绕。因此，建立钢丝绳三维模型之前需要推导钢丝中心线的参数方程，再利用三维建模软件的扫描功能建立实体模型。6×K31WSR钢丝绳股和钢丝的中心线可分为一次螺旋线和二次螺旋线，其中侧股中心钢丝的中心线为一次螺旋线，侧股其余钢丝的中心线为二次螺旋线。建立钢丝绳螺旋线空间坐标系，如图2所示。假设侧股芯丝的中心线上存在一点A，点B是对应的二次螺旋线上一点，根据微分几何理论可在点A处建立由切向量t、主法向量n、从法向量b构成的Frenet标架。

图2 钢丝绳螺旋线示意图Fig.2 Spiral Diagram of Wire Strands

所以在笛卡尔坐标系OXYZ中二次螺旋线上点的矢量表达式为：

由一般螺旋线定义可知，矢量OA的表达式为：

式中：R—一次螺旋线螺旋半径（mm）；θ—点A在一次螺旋上的旋转角（rad）；β—一次螺旋线螺旋升角（rad）。

在点A处的Frenet标架中，各向量的表达式为：

所以Frenet标架的坐标转换矩阵为：

矢量AB在Frenet标架中的表达式为：

式中：r—二次螺旋线螺旋半径（mm）；

φ—点B在二次螺旋上的旋转角（rad）。

由此可以根据式（1）得到二次螺旋线的矢量表达式为：

式（2）、式（8）即为描述钢丝绳中心线的方程。

2.2 Creo三维建模

Creo是一款参数化建模功能强大的三维建模软件，可通过参数方程快速生成复杂的空间曲线，利用Creo软件构建索道用6×K31WSR钢丝绳三维模型是较好的选择。侧股芯丝中心线螺旋半径R=16.5mm，对应的螺旋角β=73°，侧股每层钢丝中心线的螺旋半径分别为r1=2.34mm、r2=4.1mm、r3=4.48mm、r4=6.7mm，将上述已知参数代入式（2）、式（8）可得到一次、二次螺旋线的参数方程，在Creo中生成的各钢丝中心线，如图3所示。

图3 各钢丝中心线Fig.3 Center Line of Steel Wire

在钢丝中心线的基础上，根据表1中钢丝直径，通过Creo可变截面扫描功能生成长度为339mm的钢丝绳三维模型，如图4所示。其中，钢丝绳的绳芯简化成直径为17.2mm的圆柱体。

图4 钢丝绳三维模型Fig.4 3D Model of Wire Strands

3 钢丝绳有限元模型

3.1 网格划分

由于钢丝绳的螺旋结构以及钢丝之间复杂的接触关系，构建一个捻距长度（339mm）的钢丝绳有限元模型需要划分大量的网格。经过多次建模试验发现，常用有限元软件求解器无法准确求解甚至不收敛，利用Abaqus有限元软件中Explicit求解器适于求解复杂接触问题的特点，建立对应的有限元模型。

在建模过程中，首先通过Creo软件将长339mm的钢丝绳三维模型导出为Parasolid格式文件，将此文件导入Hypermesh中划分网格，各钢丝均采用C3D8R六面体单元，其中单元大小（0.3～1）mm，单元数为3739653，节点数为4593052，钢丝绳端面网格，如图5所示。在Hypermesh中设置材料属性并分别赋予每根钢丝。钢丝与绳芯材料参数，如表2所示。

图5 钢丝绳网格划分Fig.5 Mesh Generation of Wire Strands

表2 钢丝绳材料参数Tab.2 Material Parameters of Wire Strands

其中，绳芯的参数来自于超高分子量聚乙烯材料［12］。

3.2 边界条件与求解设置

约束钢丝绳一端面的轴向位移，在另一端面施加FZ=（50，150，250，350，450）（TkN）的轴向拉力分别进行求解，如图6所示。

图6 钢丝绳约束与载荷Fig.6 Restraint and Load of Wire Strands

在Abaqus中设置“General Contact”模拟钢丝之间的接触，切向接触特性采用罚函数法，钢丝间摩擦系数取0.1［13］，法向接触特性设置为“Hard Contact”。

利用Explicit求解器进行计算，一般取加载时间为结构一阶模态周期的10倍，以确保计算结果的准确性［14］。分析前先进行模态分析，得到一阶模态周期为0.03s，所以在Abaqus中设置step time=0.3s进行仿真。

4 仿真结果与分析

4.1 轴向拉伸仿真结果

仿真结束后得到钢丝绳的变形与应力，以FZ=450kN为例，钢丝绳的变形云图，如图7所示。从图中可以看出钢丝绳轴向伸长量为1.29mm。

图7 钢丝绳轴向变形云图（450kN）Fig.7 Axial Deformation Nephogram of Wire Strands（450kN）

钢丝绳侧股等效应力云图，如图8所示。靠近钢丝绳拉力加载的端面应力值较大，钢丝绳固定端及中间部分的应力相对较小，侧股端面的应力围绕中心钢丝呈螺旋状分布，最大值在侧股中心钢丝与侧股第一层钢丝接触位置，其值为863MPa。

图8 钢丝绳侧股等效应力云图（450kN）Fig.8 Equivalent Stress Nephogram of Wire Strands Spiral Strand（450kN）

钢丝绳侧股中心钢丝的最大应力与最小应力所在截面的等效应力云图，如图9所示。

图9 钢丝绳截面等效应力云图（450kN）Fig.9 Equivalent Stress Nephogram of Wire Strands Section（450kN）

图中截面的应力最大值分别为863MPa、327MPa。对比不同轴向拉力下各截面的应力值发现，侧股中心钢丝的应力值普遍较大，而侧股外层钢丝的应力值较小，这主要是因为侧股中心钢丝初始长度比外层钢丝短，受到轴向拉力时钢丝绳要保持变形协调，侧股中心钢丝的应变比其它钢丝大；并且侧股中心钢丝的接触状态最复杂，承受的接触压力最大，因此导致中心钢丝应力大于外层钢丝。

钢丝绳绳芯等效应力云图，如图10所示。从图中可以明显看出钢丝绳绳芯与侧股外层钢丝接触位置应力比绳芯上其它位置大，最大应力出现在靠近钢丝绳端面处，其值为165MPa。

图10 钢丝绳绳芯等效应力云图（450kN）Fig.10 Equivalent Stress Nephogram of Wire Strands Fiber Core（450kN）

4.2 等效弹性模量

由于钢丝绳结构复杂，在实际工程应用中通常将钢丝绳等效为一个均匀的圆柱体，圆柱体的横截面积与钢丝绳各钢丝横截面积的总和相等［15］。为此，引入钢丝绳等效弹性模量EZ，根据材料力学知识：

式中：EZ—钢丝绳等效弹性模量（MPa）；FZ—轴向拉力（kN）；L—钢丝绳长度（mm）；δ—轴向变形量（mm）；S—钢丝绳横截面积（mm2）。

表3是不同轴向拉力下钢丝绳轴向变形量，将轴向变形量代入式（9），可得到的钢丝绳拉力与等效弹性模量关系图，如图11所示。从图中可以看出钢丝绳拉力较小时，EZ随着轴向拉力的增大而增大，当拉力超过250kN后，EZ稳定在116000MPa，大约是钢丝材料弹性模量的0.64倍。

图11 轴向拉力与等效弹性模量关系Fig.11 Relationship Between Axial Tension and Equivalent Elastic Modulus

表3 钢丝绳轴向变形量Tab.3 Axial Deformation of Wire Strands

呈现这种关系是因为在轴向拉力加载时，钢丝绳股内钢丝存在一定间隙，钢丝绳的伸长量相对于等效的圆柱体较大，随着拉力的增大间隙逐渐消除，钢丝绳等效弹性模量维持为恒定值。所以，钢丝绳在使用之前进行有效的预拉伸，消除钢丝间的间隙，对得到稳定的等效弹性模量是很有帮助的。

5 结论

（1）利用Abaqus/Explicit求解得到不同拉力下钢丝绳轴向变形量、等效应力云图，结果表明，侧股端面的应力围绕中心钢丝呈现螺旋状分布；钢丝绳侧股的最大应力出现在侧股中心钢丝与第一层钢丝接触位置，侧股外层钢丝的应力值普遍较小；钢丝绳绳芯与侧股外层钢丝接触位置应力比绳芯上其它位置大。（2）将钢丝绳等效为圆柱体，引入钢丝绳等效弹性模量EZ，根据力学关系以及钢丝绳轴向变形量求出轴向拉力与钢丝绳等效弹性模量的关系，拉力较小时，EZ随着轴向拉力的增大而增大，当拉力到达一定值之后，EZ稳定为钢丝材料弹性模量的0.64倍。