利用“问题”驱动深度思考

杨洁

在一次高中数学同课异构教学研讨活动中，四位教师分别上了一节“统计”的起始课.四节课观摩下来，感觉教师风采各有千秋，但是四节课也存在两个共性问题.第一个问题是，没有关注起始课如何上.其中三位教师几乎是跳过章引言，直接进入第一课时的教学，没有站在更高的位置去设计教学，没有整体教学意识，只注重知识点的讲授.有一位教师虽然呈现了章引言，但是不尽人意，轻描淡写，一带而过.第二个问题是，所提问题启发性不强，没有真正启发学生的深度思考；所提问题比较零散，问题之间关联性不强，没有形成一条主线.

针对以上存在的两个共性问题，笔者的解决方案如下：一是章起始课首先要解决“为什么学”“学什么”“怎么学”这三个问题，再根据具体内容与学生实际情况，适度进入第一课时的教学.二是通过设置恰当的“问题串”，揭示知识的逻辑关系和内在联系，使“问题串”成为教学主线，由浅入深，驱动学生的深度思考，从而推进课堂教学.

以下是笔者根据解决方案重新设计的“统计”起始课的教学，现以文字的形式分享如下，与各位同行共勉.

1 内容与内容分析

1.1 教学内容

本节课的教学内容是普通高中数学教科书人教A版必修第二册第九章“统计”章引言、“9.1随机抽样”节引言以及“9.1.1简单随机抽样”.

1.2 内容分析

本章是高中階段统计内容的第一章.在义务教育阶段，学生已经学习过有关的统计初步知识，本章是在此基础上作进一步学习，学习内容主要是数据收集与整理的方法、数据直观图表的表示和数据统计特征的刻画方法.

本章引言部分主要通过现实生活中的统计数据，让学生感受到生活中处处有统计数据，体会学习统计的必要性；并介绍统计学的学科特点以及用统计解决问题的一般过程，让学生理解用统计解决问题的基本思路以及本章所要学习的内容.

本节研究的是随机抽样.学生在初中阶段已经初步学习了数据的收集方法，即全面调查与抽样调查.本节从抽样的两种基本方法——简单随机抽样和分层随机抽样开始研究，共计4课时.第一课时首先探索简单随机抽样概念，再研究简单随机抽样的两种基本方法，即抽签法与随机数法.

2 目标与目标解析

2.1 教学目标

（1）了解学习统计的必要性以及用统计解决问题的一般过程.

（2）了解抽样调查的必要性与目的，体会统计的基本思想.

（3）了解简单随机抽样的概念，感受样本的随机性.

（4）通过实例掌握抽签法与随机数法的操作流程.

（5）能根据具体问题选择合适的抽样方法.

2.2 目标解析

（1）通过现实生活中的统计数据，感受生活中处处有统计数据及统计数据给生活带来的便捷，体会学习统计的必要性与统计的学科特点.通过对问题的思考导入本章学习的基本思路与内容.

（2）能举出具体实例说明抽样调查的必要性，能说出抽样调查的目的，体会统计的基本思想.

（3）通过探究活动经历概念的形成过程，感受简单随机抽样的随机性，能归纳并概括出简单随机抽样的概念.

（4）通过经历具体问题的解决过程，掌握抽签法与随机数法的操作流程.

（5）通过对比具体的实例，能根据具体问题选择合适的抽样方法.

3 教学问题诊断

本章的学习是建立在初中已学习的统计相关知识的基础上的，而初中学生初步学习了收集数据的基本方法即全面调查和抽样调查，以及分析数据与描述数据的初步知识，还学习了随机事件与概率、用频率估计概率等.

本节课学习简单随机抽样的概念以及抽签法与随机数法.教材安排了一个探究问题，通过问题的探究，引导学生经历简单随机抽样概念的生成，感受抽样的随机性.在此探究中，学生可能会大致描述放回摸球与不放回摸球的过程，但是至于为什么要摇匀，学生很少会深入思考，这样就感受不到抽样的随机性.而频率与概率之间的关系到底是什么，对于学生来说是这节课的一个难点.因此，在探究过程中可以设置系列追问，引导学生具体要“探究什么”“怎样探究”从而突破难点.

4 重难点

教学重点：掌握抽签法与随机数法的基本步骤.

教学难点：探究简单随机抽样的概念.

5 设计理念

（1）章节起始课从“大处着眼”，给予学生“先见森林，后见树木”的景象.章引言部分解决“为什么学”“学什么”“怎么学”这三个问题.

（2）教学过程主要以“问题串”为主线，以问题促进学生深度思考，引导学生思维，从而推进教学.

（3）主要教学方式：启发式.

6 教学过程设计

6.1 情境导入（章引言）

问题1  想一想，生活中你接触过哪些统计数据？

师生活动：先由学生思考后自由回答，教师适时展现常见的一些统计数据，如，高考录取情况数据、人口总量、经济增长率、就业状况、学生的平均身高等生活中常见的统计数据，引导学生感受身边处处都有统计数据，并介绍统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门学科.

设计意图：引导学生联系生活实际，体会统计数据无处不在以及统计数据给生活带来的便捷，感受统计的重要性，即解决章引言中“为什么学”的问题.初步了解统计学科的特点.

问题2  观看短视频，简单谈谈自己的感想.

师生活动：教师播放一段关于“2022年中国国际大数据产业博览会”的50秒钟短视频，学生认真观看后简单谈谈自己的感想.教师适时引入“如何收集数据？”“如何从数据中提取信息来认识未知现象？”“这种认识一定正确吗？”“如何正确解释统计结果？”这四个思考问题，从而导入本章的学习内容.

设计意图：通过观看视频，感受大数据时代，引发思考问题，即解决“学什么”“怎么学”的问题，从而导入本章学习内容.引导学生从“大处着眼”，建立学习的基本框架与基本思路.

6.2 复习回顾（节引言）

问题3  在初中我们学过哪些统计知识？

追问1：什么是全面调查？总体、个体各是什么？什么是抽样调查？样本、样本容量各是什么？

追问2：抽样调查的目的是什么？

追问3：抽样调查的必要性是什么？举例说明.

追问4：如何科学地抽取样本，使样本能充分反映总体情况？

师生活动：教师抛出问题，学生自由回答.适时引导学生回顾初中学习过的统计知识，如，全面调查、抽样调查，并举例说明什么是全面调查、总体、个体，什么是抽样调查、样本、样本容量，进一步加深对全面调查与抽样调查及其相关概念的理解.对于追问2，学生不一定能正确作答，教师要适时引导.追问3要求举例说明抽样调查的必要性，学生可能回答不全面，需要教师补充.对于追问4，可以引导学生说出“客观、公平、具代表性”即可引入“简单随机抽样、分层随机抽样”，于是进入“9.1.1简单随机抽样”的教学.

设计意图：以问题引导学生回顾初中学习的统计知识，进一步加深对全面调查与抽样调查及其相关概念的理解，同时也为后面的学习作铺垫.

追问1～4是根据本章节的教学内容按照知识的逻辑顺序由浅入深、层层递进设置的.通过追问，引导学生理解抽样调查的目的、必要性及如何科学抽样的本质，意在让学生知道“拉车的同时要记得抬头看路”.

从复习中导入新课，体会知识的承上启下，引导学生注重知识的整体性与关联性，不局限于知识的细枝末节，体会统计的基本思想.

6.3 探究新知，归纳概念

问题4  假设袋中共有1 000个红色和白色小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通過抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？

方案1：（放回摸球）摸球—记录—放回—摇匀—摸球……

追问1：为什么要摇匀？

追问2：当取出n个球时，摸到红球的频率是多少？

追问3：摸到红球的频率与概率的关系是怎样的？

追问4：放回摸球有什么不足之处？

方案2：（不放回摸球）摸球—不放回—摸球……

追问5：当样本容量n=1 000时，摸到红球的频率与概率的关系是怎样的？

师生活动：抛出问题，学生思考后回答.适时引导学生描述放回摸球的基本流程并提出追问1～4；同样地，请学生描述不放回摸球的基本流程，教师适当点拨或补充，接着提出追问5.在整个过程中，教师一定要注意倾听学生的回答，适时点拨与补充.最后，在总结放回摸球与不放回摸球两种方案的同时，归纳放回简单随机抽样与不放回简单随机抽样的概念，并强调它们统称为简单随机抽样，且本章所称的简单随机抽样都是指不放回简单随机抽样.

设计意图：问题4是教材安排的探究活动，对于基础比较薄弱的学生来说，只能从表面上描述放回摸球与不放回摸球的基本流程，缺乏进一步的思考.笔者通过设置追问1～5，给学生指明探究的方向，即具体要探究什么、怎样探究，引导学生深度思考，从而突破难点.体会抽样的随机性，感受用样本估计总体的基本思想.通过探究过程，学生经历数学对象的获得过程，即经历“具体事例—观察—分析—比较—总结—归纳—抽象、概括”的全过程，可以更好地归纳总结出简单随机抽样的概念，也可以更好地理解概念.

6.4 简单随机抽样的常用方法

（1）抽签法

问题5  为了了解某校全体高一712名学生对食堂饭菜的满意程度，打算先在每个班级中随机抽取5人进行调查.某班有50名学生，为保证抽取的公平性，你打算如何抽取这5人？

追问1：为什么要编号？编号用学号可以吗？

追问2：为什么要搅匀？

师生活动：学生自主思考，教师选取学生代表说一说具体的操作流程，并适时提出追问1和追问2，归纳出抽签法的一般步骤.

设计意图：此环节教材的处理只提出了一个问题，也就是“已知树人中学高一年级有712名学生，要了解他们的身高，用简单随机抽样如何抽取样本？”然后分别介绍用抽签法和随机数法抽取样本的基本流程.笔者认为将712名学生进行编号制签，操作起来比较麻烦，不便于学生具体操作，所以先提出问题5，方便学生亲自实践，便于总结抽签法的一般步骤.追问1是为了让学生了解要将每个个体区分开来，追问2是让学生感受随机抽样的随机性.

（2）随机数法

问题6  为了了解某校全体高一学生对食堂饭菜的满意程度，如果直接要从高一年级712名学生中随机抽取50名学生进行调查，你觉得抽签法合适吗？

追问：有没有其他方法可以简化制签过程？

师生活动：让学生思考并说出抽签法的不方便之处，并提出追问，引入随机数法.

设计意图：提出问题6，让学生尝试考虑用抽签法来抽样，同时感受到当总体较大时，用抽签法比较费时费力且搅拌困难.通过追问，启发学生思考其他抽样方法，进而引入随机数法.通过这两个具体问题的解决，学生不仅能掌握抽签法与随机数法的基本歩棸，而且能感受抽签法与随机数法的适用性，从而在面对具体问题时，知道如何选择合适的方法.

（ⅰ）用随机试验生成随机数

①准备十个大小、质地一样的小球，小球上面分别写0，1，2，……，9，把它们放到一个不透明的袋中.

②有放回地摸取3次，每次摸取前充分搅拌.

③把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成了一个三位数.

④若这个三位数在范围内，则抽中对应编号的学生；否则舍弃，重复的数剔除.

师生活动：教师课前准备十个大小、质地一样的小球，小球上面分别写0，1，2，……，9，把它们放到一个不透明的袋中，介绍用随机试验生成随机数的基本流程，随后让两位学生面向全体学生抽取3个三位数的随机数，并记录到黑板上.

设计意图：通过一组演示操作，经历用随机试验生成随机数的全过程，便于学生理解随机数产生的原理.

（ⅱ）用信息技术——计算器、电子表格软件、R软件生成随机数.

师生活动：首先分别介绍并演示用计算器、电子表格和R软件生成随机数的方法，并让个别学生尝试用计算器与电子表格软件生成随机数；其次介绍用信息技术工具生成随机数的优点.

设计意图：通过介绍并演示用计算器、电子表格软件、R软件生成随机数的方法，感受用信息技术产生随机数的便捷.

问题7  对比抽签法与随机数法，如何选取合适的方法？

问题8  用简单随机抽样法抽取样本，样本量是否越大越好？

师生活动：学生思考并回答，教师适时点拨与补充.

设计意图：引导学生思考要联系实际来选择解决问题的方法与策略.

6.5 课堂练习

略.

6.6 课堂小结

回顾本节课所学内容，回答下列问题：

（1）已学习过的收集数据的方法有哪些？

（2）抽样调查的目的是什么？

（3）简单随机抽样的常用方法是什么？

（4）抽签法、随机数法的步骤各是什么？

（5）用随机数法抽取样本时需要注意什么？

（6）对比抽签法与随机数法，如何选取合适的方法？

师生活动：学生自主根据问题回顾本节内容，教师抽取个别学生回答，并适时补充.

设计意图：通过问题的形式，引导学生梳理本节知识，提高概括总结能力.

本节课是“统计”的起始课，教学容量比较大（思维容量、内容容量），概念比较多，既要处理好章引言的教学，又要进行第一课时的教学，这是一节具有挑战性的课型.关于起始课的教学内容，笔者认为除章引言外，是否进入第一课时的教学，具体教学到哪里，应该视教学班级的学情而定，不应受到束拘.