前沿热点，高考前线——创设情境问题

包旭苗 韩俊

随着教育部考试中心关于《中国高考评价体系》（2020年1月）的发布，新高考进一步切实落实高考的“立德树人、服务选才、引导教学”核心功能，为高考各学科命制试题提供了标准与依据，合理指明高考改革的路线与方向.借助指导思想，通过合理创设课程学习情境、探索创新情境和生活实践情境等来实现高考评价，让学生在真实的创新与应用情境中，身临其境，合理抽象，数学建模，进而运用数学基础知识和关键能力来分析、处理与解决相关的情境应用问题，全面培养数学学科的核心素养，深化对中学教学改革的积极导向作用.下面结合2021年高考数学试卷，就试卷中的前沿热点，结合创新情境的创设类型加以实例剖析.

1 课程学习情境

创设课程学习情境是新高考数学命题中的一大基本点，其主要在基础性、创新性层面上考查“四层”的相关内容.此类问题所选取的情境材料源于学生自身的数学课程学习过程，来自数学基础知识、数学思想或方法等，形成知识关联、方法类比等.

例1  （2021·新高考Ⅱ卷·18）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若b=a+1，c=a+2.

（1）若2sin C=3sin A，求△ABC的面积.

（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

分析：（1）通过题目条件中角的正弦值的關系式，结合正弦定理加以转化，进而确定边长；利用余弦定理以及平方关系来确定一内角的正弦值，结合三角形的面积公式加以求解.（2）根据条件确定三边长的大小关系，进而确定最大边以及对应的最大角；通过余弦定理确定对应的余弦值，借助解不等式来确定对应边的取值范围，综合边的取值限制以及三角形的性质建立不等式来处理，进而确定正整数的存在性问题.

解析：（1）由2sin C=3sin A，根据正弦定理可得2c=3a，结合c=a+2，可解得a=4，c=6，则b=a+1=5.

利用余弦定理有cos C=a2+b2－c22ab=18，则有sin C=1－cos2C=378.

所以△ABC的面积S△ABC=12absin C=1574.

（2）由b=a+1，c=a+2，可知c>b>a，要使得△ABC为钝角三角形，则只需角C为钝角.

利用余弦定理，可得cos C=a2+b2－c22ab=a2+（a+1）2－（a+2）22a（a+1）<0，整理得（a-3）（a+1）2a（a+1）

<0，

结合题目条件可得0a+2，则1

所以存在正整数a=2，使得△ABC为钝角三角形.

点评：此题所选取的情境材料直接源于解三形形中“正弦定理和余弦定理”的学习，所依托的知识与方法都属于回忆性再现，因而所创设的试题情境属于学习再现情境，设计具有开放性，“存在问题”有序开放，体现数学学科的基础性，并充分考查数学运算与逻辑推理等学科素养与关键能力，以及正弦定理、余弦定理和三角恒等变换等必备知识.

2 探索创新情境

创设探索创新情境是新高考数学命题中的一大创新与亮点，主要在综合性、创新性层面上考查“四层”的相关内容.此类问题所选取的情境材料源于学生的生活体验以及各学科的知识储备等，依赖相应知识与经验等的整体性把握、相关表述的等价性化归与转化，以及相关思想与方法的即景性类比与联想等，或迁移，或类比，合理探究，创新应用.

例2  （2021·新高考Ⅰ卷·8）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（  ）.

A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立

分析：利用事件相互独立的一般定义，结合概率的运算来验证公式P（AB）=P（A）P（B）是否成立，进而判断两个事件之间的相互独立关系.

解析：由题意可知，从中有放回地随机取两次的所有可能结果为6×6=36种.

两点数和为8的所有可能结果为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共有5种.

两点数和为7的所有可能结果为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），共有6种.

所以P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=536，P（丁）=636=16.

选项A中，P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）；

选项B中，P（甲丁）=136=P（甲）P（丁）；

选项C中，P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙）；

选项D中，P（丙丁）=0≠P（丙）P（丁）.

综上分析，甲与丁相互独立.故选答案：B.

点评：此题所选取的情境材料直接源于“概率”章节中“事件的相互独立性”的学习，材料所蕴含的知识源于学生已有的生活体验，用概率解题却源于学生的学习储备，进行合理的探索与创新.依赖创新情境的创设与应用，抓住定义来处理，吻合题设要求，也是破解此类问题比较常见的一类基本思维方法.

3 生活实践情境

创设生活实践情境是新高考数学命题中的一大应用点，主要在考查“四层”的相关内容中加以基础性、综合性的交汇，同时进一步提升到应用性、创新性等层面上，合理解决社会生活现象，坚定数学的有用性与价值认同.此类问题所选取的情境材料通常源于学生自身的社会生活经历，综合学习的数学知识、思想、方法等，通过数学模型的构建与应用，对实际问题的合理解释以及为实际问题的解决提供决策依据.

例3  （2021·新高考Ⅰ卷·16）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

分析：第一问难度不大，学生多会用穷举法，借助列举剖析当中的规格，从而得到对应的结果；第二问利用数列中通项关系式的变形与转化，合理通过待定系数法进行裂项相消，进而达到数列求和的目的.此方法对数列通项的推理与代数变形的技巧与要求比较高，在平时的教学中可以视学生情况进行选讲、拓展.

解析：由题意可得如下结论.

对折1次得到2种规格：10 dm×12 dm，20 dm×6 dm.

对折2次得到3种规格：5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm.

对折3次得到4种规格：5 dm×6 dm，52 dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm×32 dm.

对折4次得到5种规格：20 dm×34 dm，10 dm×32 dm，5 dm×3 dm，52 dm×6 dm，54 dm×12 dm.

猜想对折n次得到n+1种不同规格的图形，且这n+1个长方形的面积相等，都为240×12n，故面积之和为Sn=（n+1）×240×12n.

又因為n+12n=n+22n－1－n+32n，所以

S=∑nk=1Sk=S1+S2+……+Sn=240320－421+240421－522+……+240n+22n－1－n+32n=2403－n+32n.

故填答案：（1）5；（2）2403－n+32n.

点评：此题所选取的情境材料直接源于实践课程中“民间剪纸艺术”的学习，材料所蕴含的知识源于学生已有的生活体验，用列举法、数列求和法等来解题却源于学生的学习储备，故所创设的试题情境属于生活实践情境.结合中华优秀传统文化情境，展现我国古代劳动人民的智慧与创造，树立民族自豪感和远大理想，在高考数学试卷中备受关注.

历年高考数学试卷都有创新情境问题的出现，结合课程学习、探索创新、生活实践等情境，合理创设一些创新真实的数学问题情境，充分体现数学学科的应用与创新价值.

在此层面与基础上，结合新高考指导精神的逐步落实和新课程改革进程的稳步推进，充分体现高考数学学科层面的基础性、综合性、应用性和创新性的“四层”考查要求，合理把握数学基础知识、数学思想方法等，提升数学品质，培养数学学科素养.