巧思维切入，妙方法破解

刘晨玉

双变元代数式的最值（最大值或最小值）或取值范围问题，是天津高考试卷中一副不变的熟悉“面孔”，创新新颖，常考常新.破解此类问题，结合双变元代数式的基本特征，借助基本不等式思维、函数或方程思维、导数思维或其他重要不等式思维等加以切入与破解，合理融合基本不等式、函数与方程、导数等相关数学知识与数学思想方法，巧妙处理，正确破解.

1 真题呈现

高考真题  （2021年高考数学天津卷第13题）已知a>0，b>0，则1a+ab2+b的最小值为.

2 真题剖析

此题以两个正参数所对应的代数式为问题背景，进而确定对应代数式的最值问题.题目代数关系式中两参数之间没有明显的线性联系，又不具有明显的对称性，剖析两参数之间的次数、加减与乘积等方面的关系，为进一步破解问题提供条件.

结合所求解的代数关系式的特征，合理配凑，巧妙拆分，整体设参，正确构建等，借助基本不等式思维、其他重要不等式思维、函数或方程思维、导数思维等，合理转化，巧妙变换，进而得以确定相应的代数式的最值问题.

3 真题破解

思维视角一：不等式思维.

方法1：两步基本不等式法1.

解析：由于a>0，b>0，利用基本不等式，可得1a+ab2+b≥21a×ab2+b=2b+b≥22b×b=22，当且仅当1a=ab2，且2b=b，即a=b=2时，等号成立.

所以1a+ab2+b的最小值为22.

故填答案：22.

点评：根据所求代数式的基本特征，利用基本不等式，分两步来处理，第一步先消去参数a，结合代数式的变形与转化再进行第二步消参数b，进而得以确定代数式的最值.抓住代数式的基本特征，合理分步，巧妙借助基本不等式两步走，合理消参，确定最值.

方法2：两步基本不等式法2.

解析：由于a>0，b>0，利用基本不等式，可得1a+ab2+b=1a+b2+ab2+b2≥21a×b2+2ab2×b2=2b2a+2a2b=2ba+2ab≥22ba×2ab=22，当且仅当1a=b2，ab2=b2，且2ba=2ab，即a=b=2时，等号成立.

所以1a+ab2+b的最小值为22.

故填答案：22.

点评：根据所求代数式的基本特征，巧妙配凑，合理分拆，借助合理的分配与组合，分别利用基本不等式，变形转化后再次利用基本不等式来处理，进而得以确定代数式的最值.抓住代数式的基本特征，合理分拆与分步，巧妙借助基本不等式，保留参数，巧妙两步走，确定最值.

方法3：均值不等式法.

解析：由于a>0，b>0，由均值不等式可得1a+ab2+b=1a+ab2+b2+b2≥441a×ab2×b2×b2=22，当且仅当1a=ab2=b2，即a=b=2时，等号成立.

所以1a+ab2+b的最小值为22.

故填答案：22.

点评：根据所求代数式的基本特征，巧妙配凑，合理分拆，利用代数式进行巧妙平均拆分处理，结合拆分后所对应的代数关系式，巧妙利用四次均值不等式，进而得以确定对应代数式的最值问题.抓住代数式的基本特征，巧妙配凑，合理分拆，巧妙借助均值不等式，直接确定最值.

思维视角二：方程思维.

方法4：待定系数法.

解析：由于a>0，b>0，令1a+ab2+b=t>0，变形整理，可得a2+（b3-tb2）a+b2=0.

要使得关于参数a的二次方程有正数解，则需满足b3-tb2<0且Δ=（b3-tb2）2-4b2≥0.

整理，可得b3-tb2<0且（b3-tb2）2≥4b2.

又b＞0，则b3-tb2≤-2b，即t≥b+2b.

利用基本不等式，可得t≥b+2b≥2b×2b=22，当且仅当b=2b，即a=b=2时，等号成立.

所以1a+ab2+b的最小值为22.

故填答案：22.

点评：根据所求代数式进行待定系数法处理，将问题方程化，结合关于参数a的二次方程有正数解，建立对应的不等式，分离参数，利用基本不等式来确定参数t的最小值，进而得以求解代数式的最值问题.引入参数进行待定系数法处理，结合方程思维，利用不等式的求解以及基本不等式的应用来巧妙破解.

思维视角三：导数思维.

方法5：导数法.

解析：由于a>0，b>0，构造函数f（a）=1a+ab2+b.

求导，可得f′（a）=-1a2+1b2=a2-b2a2b2=（a+b）（a-b）a2b2.

当a＞b时，f′（a）＞0，f（a）单调递增；

当a＜b时，f′（a）＜0，f（a）单调递增.

故f（a）在（0，b）上单调递减，在（b，+∞）上单调递增.

令f′（a）=0，可得a=b，此时f（a）≥1b+bb2+b=2b+b≥22b×b=22，当且仅当2b=b，即a=b=2时，等号成立.

所以1a+ab2+b的最小值为22.

故填答案：22.

点评：通过构造函数，结合相应函数的求导运算，利用导函数的零点确定函数的最值，进而确定此时对应的最值关系式，利用基本不等式确定相应的最值问题.导数法处理代数式的最值问题，是破解此类最值问题常见的思维方式，导数思维是解决函数最值问题的基本思维方法之一.

4 教学启示

破解双变量或多变量代数式的最值问题，结合代数式的特征，合理借助不等式思维、函数与方程或导数思维等，合理配凑，巧妙拆分，整体设参，正确构建，利用不同的思维方式加以分析与破解.

（1）首選不等式思维

破解双变量或多变量关系条件下的代数式最值问题，关键是借助已知条件中的关系式，合理恒等变形，巧妙运算转化，结合不等式思维，特别是基本不等式以及不等式性质等加以合理转化与处理，进而直接确定对应代数式的最值问题.

（2）函数与方程或导数思维

函数与方程思维或导数思维，也是破解双变量或多变量关系条件下代数式最值问题的基本思维方式.通过函数与方程思维加以转化，或利用函数思维，结合函数的图象与性质进行求解；或利用方程思维，结合判别式的应用加以处理；或利用导数思维，通过求导来确定单调性、极值与最值等来分析与处理.

（3）拓展思维，形成能力

对于此类问题，要合理挖掘其丰富内涵，不断探究反思，举一反三，灵活变通，学会变式拓展，探究提升，真正达到融会贯通.从数学知识、数学思想方法与数学能力等层面融合，形成数学知识体系，转变为数学能力，有效应用于相应的数学解题中，真正形成良好的数学品质，有效提高数学能力，培养数学核心素养.