2023年高考数学全国乙卷第11题的巧思妙变

申光鹏

摘要：涉及直线与圆的位置关系的综合应用问题，一直是高考中比较常见的基本考点之一.结合一道高考真题，借助圆方程的场景创设，通过不同思维视角来确定一次代数式的最值，多思维层面切入，多技巧视角应用，探究破解問题的思路与变式拓展，指导数学教学与解题研究.

关键词：实数；直线；圆；距离；方程

直线与圆是平面解析几何中两类最简单的基本图形，又是初中平面几何中的基本图形之一.直线与圆之间的位置关系问题，有效链接起初中与高中的相关知识，同时又涵盖函数与方程、数形结合等基础数学知识与基本数学思想等，备受各方关注.

特别地，涉及直线与圆的位置关系的综合应用问题中，有其自身的代数属性，又有其内涵的几何特征，实现高考“在知识交汇点处”设计命题的指导精神，同时使得问题的破解思维与技巧策略更加多样创新，一直是各级各类考试的必考内容和热点内容之一.

1 真题呈现

高考真题  （2023年高考数学全国乙卷文科·11）已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y－4=0，则x－y的最大值是（  ）.

A.1+322

B.4

C.1+32

D.7

此题以双变量所满足的二元二次方程是一个圆方程来合理创设问题场景，结合双变量所对应的一次线性代数式的最值求解来设置问题，是平面解析几何直线与圆的位置关系模块中比较常见的一类问题，有其特殊的代数属性与几何内涵.

在实际解决此类问题时，可以借助解析几何思维，从直线与圆的位置关系入手，或转化为几何图形的位置关系来处理，或利用参数方程达到目的；也可以借助函数与方程思维，合理引入参数，将问题转化为相关的一元二次方程问题，利用判别式达到目的.思维视角切入多样，解题技巧方法纷呈.

2 真题破解

2.1 解析几何思维

解法1：距离转化法.

由x2+y2－4x－2y－4=0配方可得（x－2）2+（y－1）2=9，则其几何意义是以C（2，1）为圆心，半径为3的圆

.

设x－y=k，则圆心C（2，1）到直线x－y=k的距离d=|2－1－k|1+1=|1－k|2≤r=3，即|k－1|≤32，解得1－32≤k≤1+32.

所以x－y的最大值是1+32.故选答案：C.

解后反思：根据题设条件中二元二次方程与所求一次代数式的几何意义，将问题转化为直线与圆的位置关系问题，借助直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离小于等于半径来构建对应的不等式，进而得以确定所求一次代数式的最值（或取值范围）.挖掘方程或代数式的几何意义，由“数”转“形”，是解决问题的关键所在.

解法2：三角换元法.

由x2+y2－4x－2y－4=0配方可得（x－2）2+（y－1）2=9，则其几何意义是以C（2，1）为圆心，半径为3的圆.设x=2+3cos ，y=1+3sin ，∈＼则有x－y=3cos －3sin +1=32cos+π4+1≤32+1，当且仅当cos+π4=1，即+π4=2π，亦即=7π4时，等号成立.

所以x－y的最大值是1+32.故选答案：C.

解后反思：根据题设条件中二元二次方程所对应的几何意义，借助三角参数方程的构建，合理进行三角换元处理，进而将所求一次代数式表示为三角函数关系式，结合三角恒等变换构建对应的正弦型（或余弦型）函数，利用三角函数的图象与性质来确定最值（或取值范围）.利用参数方程进行三角换元处理，为问题的进一步分析与解决奠定基础.

2.2 方程思维

解法3：判别式法.

设x－y=k，则x=y+k，代入x2+y2－4x－2y－4=0，整理可得2y2+（2k－6）y+k2－4k－4=0.

由于以上关于y的二次方程有实数根，则判别式Δ=（2k－6）2－4×2（k2－4k－4）≥0.

整理，可得k2－2k－17≤0.

解得1－32≤k≤1+32.

所以x－y的最大值是1+32.故选：C.

解后反思：根据所求一次代数式进行整体换元引入参数，代入题设条件中的二元二次方程，将问题转化为相关的一元二次方程问题，借助一元二次方程有实数根，通过判别式满足的条件构建不等式，利用解不等式来求解最值（或取值范围）.利用整体思维引入参数，合理消参转化为相关的一元二次方程，为进一步利用判别式法构建不等式打下基础.

3 变式拓展

3.1 同阶变形

基于高考真题，就一次代数式的最值（最小值或最大值）、取值范围等来加以合理变式与应用.

变式1  已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y－4=0，则x－y的最小值为.

变式2  已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y－4=0，则x－y的取值范围为.

变式1，2的答案分别为：1－32，＼

以上两个变式的解题过程，可以直接参照上述高考真题中的解析.

3.2 中阶变形

基于高考真题，合理改变一次代数式的系数，也可以对其相应的代数式的最值（最小值或最大值）、取值范围等问题加以变式与应用.

变式3  已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y－4=0，则3x－4y的最大值为.

解析：由x2+y2－4x－2y－4=0配方，可得到（x－2）2+（y－1）2=9，则其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆.

设x=2+3cos ，y=1+3sin ，∈＼则3x－4y=9cos －12sin +2=15cos （+φ）+2≤15+2=17，其中tan φ=43，当且仅当cos （+φ）=1时，等号成立，所以3x－4y的最大值是17.

故填答案：17.

3.3 高阶变形

基于高考真题，改变所求代数式的结构特征，化一次代数式为相应的一次分式、二次根式等问题，进而求解其对应的最值（最小值或最大值）、取值范围等，合理变式与应用.

变式4  已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y－4=0，则y－1x+3的最大值为.

解析：由x2+y2－4x－2y－4=0配方可得到（x－2）2+（y－1）2=9，则其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆.

设y－1x+3=k，则圆心C（2，1）到直线kx－y+3k+1=0的距离d=|2k－1+3k+1|k2+1=|5k|k2+1≤r=3，即16k2≤9，解得－34≤k≤34.

所以y－1x+3的最大值是34.故填答案：34.

变式5  已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y－4=0，则（x+2）2+（y－4）2的最大值为.

解析：由x2+y2－4x－2y－4=0配方可得到（x－2）2+（y－1）2=9，則

其几何意义是以C（2，1）为圆心，半径为3的圆.

而代数式（x+2）2+（y－4）2的几何意义是圆上的点到定点P（－2，4）的距离，由于|PC|=（2+2）2+（1－4）2=5，所以（x+2）2+（y－4）2的最大值为|PC|+r=5+3=8.故填答案：8.

以上的变式4中所求的代数式y－1x+3的几何意义是圆上的点与定点（－3，1）的连线的斜率，变式5中所求的代数式（x+2）2+（y－4）2的几何意义是圆上的点与定点（－2，4）的距离，都有其特殊的图形结构内涵与实质.当然也可以求解变式4、变式5中对应的代数式的最小值或取值范围等.

4 教学启示

4.1 合理交汇，巧妙应用

借助直线与圆的位置关系，以“数”与“形”的巧妙融合，渗透“动”与“静”的和谐统一，可以从代数思维切入进行合理数学运算，也可以从几何思维切入进行逻辑推理，实现不同知识点之间的合理交汇与融合，达到知识、能力的综合与应用的目的，从而使得学生的解题思维更加活跃，解题思路更加开阔，数学知识的掌握更加熟练，问题的破解更加快速有效.

4.2 变式拓展，“一题多变”

通过对问题本质属性的合理挖掘，全面开拓数学思维，巧妙整合数学知识，结合“一题多解”“一题多思”“一题多变”等探究与应用，实现“一题多得”.基于典型问题的应用，解决并处理一系列的典型数学问题，从而培养发散思维能力与数学解题能力，有助于激发学生学习的积极性、主动性和趣味性，从而全面提高学生的知识水平和思维能力，养成良好的数学品质，培养数学核心素养.