“等差数列的前n项和公式”教学设计

李谋华 程正玲

摘要：“等差数列的前n项和公式”作为优秀课例参加了“全国第十届高中青年数学教师优秀课展示活动”，本文中按教学过程设计、教学设计策略、教学反思的顺序对本单元的教学设计逐一进行说明.

关键词：等差数列；前n项和公式；单元教学设计；问题驱动教学；数学情境；数学文化

“等差数列的前n项和公式”选自人教A版普通高中数学教科书选择性必修第二册第四章第4.2.2节，笔者是基于单元教学对本节课进行设计的，一共包含两个课时：第一课时侧重于公式的探究与推导，第二课时侧重于公式的应用.

1 教学过程设计

1.1 环节一：重温经典算法，归纳“探”公式

等差数列项的变化规律和倒序相加求和法是推导等差数列前n项和公式的两个关键点.在公式的推导过程中，学生最大的疑惑是“你是怎样想到倒序相加求和法的？”因此，怎样让求和公式的推导过程显得自然合理是本节课的关键.笔者以毕达哥拉斯学派研究的“三角形”为学习情境，设计了一条探究路径，让学生亲身经历倒序相加求和法的发现过程.

问题情境：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，15，……，由于这些数能够表示成三角形，因此将其称为三角形数.

问题1  如果图1中的石子有100层，那么从第1层到100层一共用了多少粒石子？

学生将问题抽象为求1+2+3+……+100，并用高斯的方法计算出了结果.笔者在总结学生解法的基础上介绍高斯的算法.

利用首尾配对相加求和法解决项数为偶数时的求和问题很方便，但是如果求和项数是奇数，那又该怎么办呢？于是设计了第二个问题.

问题2  如果图1中的石子有101层，那么从第1层到第101层一共用了多少粒石子？

学生经过合作学习，相互讨论，形成以下两种求解思路：

（1）先拿出一项，再首尾配对.可以先拿出中间项，再首尾配对，也可先拿出末项，再首尾配对.

（2）先凑成偶数项，再配对.可以通过前面补零，凑成偶数项配对，也可通过后面增项减项，凑成偶数项配对.

在解决了奇数项和偶数项的求和问题后，将特殊数列的求和问题推广到从1到n这连续n个自然数的求和问题，接着设计了第三个问题.

问题3  如果图1中的石子有n层，那么从第1层到第n层一共用了多少粒石子？

学生将问题转化为计算Sn=1+2+3+……+n后，仿照问题2的转化思路，从奇偶分析法入手探求：

（1）当n是偶数时，直接运用高斯算法求解；

（2）当n为奇数时，学生经过小组合作讨论，借鉴前面的研究经验，通过不同的配项方式（增项、补项等），得到“化奇为偶”的不同化归方法，计算出Sn=1+2+3+……+n=n（n+1）2.

由于分类讨论后得到的结果是相同的，于是笔者提出问题：是否一定要分类讨论？怎样避開分类讨论实现“配对”？如何将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”？

当学生的探究止步不前时，笔者引导他们另辟蹊径，于是设置了第四个问题.

问题4  回忆梯形面积公式的推导过程，回答下列问题：

（1）梯形面积公式的推导体现了什么研究策略？

（2）能否借助这样的策略研究“石子堆”问题？

在学生借助几何图形（如图2）发现倒序相加求和法后，笔者引导学生从代数的角度去发现倒序相加求和法：

Sn=1+2+3+……+n，①

Sn=n+（n－1）+（n－2）+……+1.②

由 ①+②，得

2Sn=（n+1）+（n+1）+……+（n+1）n个=n（n+1）.

其结果变成了n个n+1相加.由此自然引出了“倒序相加”的求和方法.

在本环节中，通过创设数学情境，采取以退为进的研究策略，采用问题驱动的教学方式，带领学生一起回忆了高斯的经典算法，分析了首尾配对相加求和法的局限性.利用类比的方法，让学生亲身经历了倒序相加法求和的发现过程，为解决等差数列的求和问题迈出了关键性的一步.在本环节中运用了化归与转化、特殊与一般、分类与整合、数形结合等数学思想，培育了学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.

1.2 环节二：探索求和规律，演绎“推”公式

在环节一的引导下，笔者设置了第五个问题，引导学生顺利推导出了等差数列的前n项和公式的三种形式.

问题5  （1）你能用倒序相加求和法求公差为d的等差数列{an}的前n项和吗？

（2）等差数列还有其他的求和公式吗？

在推导出求和公式的三种形式后，笔者设置了两个问题，引导学生从“数”和“形”两方面深入认识公式，挖掘公式中包含的性质.

追问1：你还能说出式子Snn=d2n+a1－12d的意义吗？

追问2：等差数列的求和公式之间有什么样的关联呢？

在本环节中，学生对“倒序相加求和法”的运用不再感到突兀，公式推导的整个过程显得自然、合理.笔者引导学生从“数”和“形”两方面深入挖掘求和公式，发现了公式中包含的性质，有利于学生对公式的深入理解.本环节运用了化归与转化、数形结合等数学思想，培育了学生的逻辑推理、直观想象等核心素养.

1.3 环节三：挖掘几何意义，类比“释”公式

在环节三中，笔者通过设置第六个问题，引导学生根据公式的结构特征，找出公式的几何意义.

问题6  根据等差数列前n项和公式的结构特征，你能分别说出它们的几何意义吗？

在本环节中，学生通过小组讨论发现了求和公式的三种形式分别与梯形（图3～4）的面积、函数的图象（图5～7）之间的关系，找到了公式的几何意义.这样设计的目的是让学生通过数形结合的方式，明确公式的几何意义，帮助学生深入理解公式，并在理解的基础上加以记忆.本环节运用了化归与转化、数形结合等数学思想，培育了学生的逻辑推理、直观想象等核心素养.

1.4 环节四：创设多元情境，落实“用”公式

在第2课时里，笔者设置了四个例题和四个探究.例1选自教科书中的例6，引导学生探究等差数列的五个基本量之间的关系，简单运用公式.例2选自教科书中的例8，引导学生利用数学知识解决实际问题，综合运用公式.变式探究中的问题选自我国古代数学名著《张丘建算经》.例3选自教科书中的例9，引导学生根据等差数列首项和公差求前n项和的最值，综合运用公式.例4选自教科书中的例7，引导学生探究等差数列前n项和的性质，灵活运用公式.在变式探究2中，引导学生利用信息技术探究等差数列的性质.

在本环节中，通过创设数学情境、现实情境和文化情境，引导学生正用、逆用和变用等差数列的求和公式解决了相应的问题，并探究了等差数列前n项和的部分性质，通过整合教材，使得例题与例题之间形成了梯次递进、螺旋上升的内在关系；通过采取“兵”教“兵”的教学方式，调动了学生的积极性，提高了学生的自主学习能力.

本环节的设计意图在于培养学生学以致用的意识，领会解决问题的思想方法，积累运用公式的基本经验.本环节运用了化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想，培育了学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养.

在本单元的教学过程中，笔者通过创设从特殊到一般推导公式、从简单到复杂应用公式的学习情境，带领学生经历了化歸与转化、探索与尝试、总结与提炼、应用与深化四个学习阶段，有效达成了教学目标.

2 教学设计策略

本单元的教学设计策略有：核心素养导航、数学思想引领、数学文化渗透、单元教学设计.

学科核心素养是课程目标和育人价值的集中体现，本单元的教学着重培育学生的五种数学素养.

数学思想是数学最本质、最具有价值的内容.在教学过程中探索数学思想的最终目的是提高学生的数学思维品质和整体素质.本单元的教学主要运用了五种数学思想.

本单元的教学将数学史料贯穿于整个教学过程之中，有利于学生了解求和公式的发展历程，厘清求和公式的来龙去脉，欣赏数学家的研究成果，感受数学文化的魅力.

单元教学设计可以提高课堂教学的针对性、有效性和科学性.本单元是按照归纳“探”公式、演绎“推”公式、类比“释”公式、落实“用”公式这四个环节依次展开教学的.

本单元教学设计策略如图8所示.

3 教学反思

（1）本单元的教学设计及实施的特色在于：采用单元教学的设计模式，采取问题驱动的教学方式，创设多元数学情境，渗透数学文化，加强学生自主学习指导.

（2）本单元教学设计中的一个关键点是让“倒序相加求和法”的发现更加自然合理，尽管笔者做出了很大的努力，但是从问题3到问题4的过渡还不是很自然.这是课后需要继续思考的问题.