真题追本溯源，回归教材本源

丁学智

摘要：高中数学教材中的一些典型例（习）题，具有相关模块知识的典型性与应用，也一直是高考数学命题的基本源泉之一.结合一道三角函数求值的高考真题的追根溯源，挖掘根源所在，开拓解题思路，总结性质规律，合理回归教材并挖掘教材知识，有效指导数学教学与复习备考.

关键词：三角函数；公式；换元；教材；习题

高中数学教材例（习）题往往是每年高考数学命题的一个重要脚本，回归教材本源，合理挖掘教材例（习）题的各个方面，基于数学问题场景、数学知识结构与数学思想方法等，全面构建相应的数学知识网络体系，架构数学基础知识之间的巧妙链接与综合应用，形成数学能力，合理渗透并应用到高考命题中去.

1 高考真题呈现

（2023年新高考Ⅰ卷·8）已知sin （α－β）=13，cos αsin β=16，则cos （2α+2β）=（  ）.

A.79

B.19

C.－19

D.－79

此题通过两角差的三角函数值、两单角三角函数值的积来设置问题场景，利用两角和的二倍角的三角函数值的求解来创设问题，是高考中三角函数求值问题的一种基本题型与综合应用.

三角函数求值的几种常见类型：“给角求值”“给值求值”“给值求角”等.解决问题的基本思路就是建立题设条件与所求结论之间函数值、函数名、角、运算式等要素之间的联系，结合相关的三角函数公式加以合理变换与转化，从而实现函数值、角等的求解与应用.

2 真题破解

解法1：两角差的正弦公式法.

因为sin （α－β）=sin αcos β－cos αsin β=13，

而cos αsin β=16，可得sin αcos β=13+16=12，所以sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=12+16=23.

所以cos （2α+2β）=1－2sin 2（α+β）=1－2×232=19.

故选：B.

解法2：积化和差公式法.

由cos αsin β=16，利用积化和差公式，可得cos α＼5sin β=12＼=16.

又sin （α－β）=13，可得sin （α+β）=16×2+13=23，

所以cos （2α+2β）=cos 2（α+β）=1－2sin 2（α+β）=1－2×232=19.

故选：B.

解法3：换元法.

设α－β=γ，则α=β+γ，sin γ=13.

而cos αsin β=16，即cos （β+γ）sin β=16，所以cos βcos γsin β－sin γsin 2β=16.

所以12cos γsin 2β－sin γ·12（1－cos 2β）=16，即12cos γsin 2β－12sin γ+12sin γcos 2β=16.

所以12sin （2β+γ）=13，即sin （2β+γ）=23.

所以cos （2α+2β）=cos （4β+2γ）=1－2sin 2（2β+γ）=1－2×232=19.

故选：B.

解后反思：涉及三角函数中的“给值求值”问题，借助题设条件，方法1中从两角差的正弦公式入手来变换，解法2中从积化和差公式的应用来转化，解法3中从整体换元思维来切入，进而利用三角函数关系式的变形与转化，结合二倍角公式来分析与求解.其中解法1是最为常见的解题方法，也是解决问题的“通性通法”，需要加以熟练掌握.而借助思维视角的改变，也有其他相关的技巧方法可以达到求解目的.

3 追本溯源

追本溯源，该题是在高中数学教材的课后习题的基础上，依据数学基础知识，从命题形式、条件转化、结论设置、能力提升与综合应用等方面，开拓数学思维，改变对应问题的设置，从而实现问题的应用.

习题  〔人民教育出版社2019年《数学》（必修第一册）第五章“三角函数”第229页习题5.5第9题〕

已知sin （α+β）=12，sin （α－β）=13.

求证：

（1）sin αcos β=5cos αsin β；

（2）tan α=5tan β.

该教材习题通过sin （α+β），sin （α－β）与sin α＼5cos β，cos αsin β之间的关系，合理设置已知条件与所求结论，以证明的方式来创设，是三角函数求值的另一种表达方式，达到三角函数求值的综合应用目的.

以上教材习题的证明过程与技巧方法，可以参照上文原高考真题的解析过程，这里不再展开.

其实，涉及三角函数求值的综合应用问题，是高中数学的一个重要知识点，也是各级、各类考试中的一个基本考点，难度一般比较简单或中等.

4 变式拓展

变式  （湖北省2024届新高三腾云联盟八月联考数学试题）已知π2<α<3π2，－π2<β<0，且sin α+sin β=3（cos α+cos β），则下列结论一定不正确的是（  ）.

A.cos （α－β）=－1

B.sin （α－β）=0

C.cos （α+β）=－12

D.sin （α+β）=－32

分析：根据题设条件，抓住给出的三角函数关系式的两边比较工整，且均是两角正弦值（或余弦值）的和式特征，可以直接利用三角函数的和差化积公式加以转化，利用三角函数关系式的恒等变形，并结合角的取值范围来分析与判断所给结论是否成立.

解：由sin α+sin β=3（cos α+cos β），利用三角函數的和差化积公式，可得

2sinα+β2cosα－β2=23cosα+β2cosα－β2.

整理有cosα－β2sinα+β2－3cosα+β2=0.结合辅助角公式，得2cosα－β2sinα+β2－π3=0.

由π2<α<3π2，－π2<β<0，可得π4<α－β2<π，－π3<α+β2－π3<5π12，故α－β2=π2或α+β2－π3=0，解得α－β=π或α+β=2π3.

故选：D.

5 教学启示

5.1 熟练掌握公式，把握常规方法

解决三角函数求值问题的关键，就是充分挖掘题设条件与所求结论中的函数值、函数名、角、运算式等要素之间的联系，结合同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式以及解三角形中的相关定理等进行巧妙的“变”——变角、变名、变式，如图1.

由题设条件入手，到所求结论为止，构建联系，合理求“变”，化归与转化，实现三角函数值的求解.

5.2 落实教材本源，探寻问题内涵

脚踏实地，认真研究和学习高中数学教材中的基础知识与相关的例（习）题，从数学知识根源上去深入、研究、理解、掌握，充分把握数学基础知识的基本内涵与实质，以不变应万变，这才能真正发挥高中数学教材的最大作用.

我们知道，高中数学教材的基础知识与对应的例（习）题等相关内容，都具有其他数学教学参考书、习题集等所不可替代的作用和教育教学功能，具有典型性，起到总结成功经验与标杆等方面的作用.教师要合理引导学生深入领会高中数学教材中对应例（习）题所展示出来的知识内涵与命题意图，并加以研究和开发，合理追根溯源.真正达到“双减”的目的，减少所谓的“补充内容”，减少资料书的使用，真真切切地做到为学生减负，同时又能够增加学生动手、动脑等方面的能力，提高学习兴趣，是一举多得的好事情.