巧用类比和变式探究解决圆锥曲线问题

2024-02-01赵李三陈媛

新教育·综合 2024年1期

赵李三陈媛

【摘要】巧用类比和变式探究，有利于解决圆锥曲线定义、标准方程与几何性质等问题。通过类比和变式例题、习题、高考题等进行探究，有效解决圆锥曲线问题，提升学生的数学核心素养。双曲线、抛物线的研究通过类比椭圆的研究，注重数学基本思想和基本方法的引领示范，注意挖掘圆锥曲线性质的题目的教学功能，适当变式拓展，发展学生的数学核心素养。

【关键词】类比；变式探究；圆锥曲线

类比和变式探究是提高数学教学效率的重要手段，圆锥曲线是高中解析几何的重要内容，也是高考的重要内容。圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线。椭圆作为重点内容，要注重強调它的研究典型示范作用。教学实践中，通过“定义变式”“标准方程变式”“几何性质变式”“例题与习题变式”等进行探究，让学生解决椭圆定义、标准方程及其几何性质问题。再通过巧用类比和变式探究，解决圆锥曲线定义、标准方程与几何性质问题；在圆锥曲线教学中，教师应充分重视类比和变式探究，通过类比和变式例题、习题、高考题，有利于运用圆锥曲线知识与方法解决问题，提升学生的数学核心素养。

一、类比和变式探究有利于解决圆锥曲线定义、标准方程与性质问题

在椭圆定义教学中，充分展示椭圆的产生过程，强调“平面内与两点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆”。集合（图1见下文）

其中是常数。变式提问：当

时，P点的轨迹是椭圆；当时，P点的轨迹是线段；当时，P点不存在。较好地突出“距离之和等于常数（大于）”，有利于学生理解掌握椭圆的定义。

在引导学生探究得出焦点在轴上的椭圆的标准方程：后，条件变式为：

探究焦点在轴上的椭圆的标准方程：

。让学生思考、观察图形，注意焦点所在的轴变化，得到另一个标准方程

。学生思考说出：两个标准方程的共同点与不同点。当且仅当时，的情形，说明：这时两个焦点重合，图形变成圆，它的方程：，在椭圆标准方程中有的限制。这样开展的条件变式探究，学生可较好地掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。

利用椭圆的标准方程研究其几何性质，让学生从中体会用曲线的方程研究曲线性质的基本思路和方法：先“形”后“数”。提出问题：形状、范围、对称性、离心率、哪些点比较特殊？在学生探究焦点在轴上的椭圆几何性质后进行条件变式：焦点在轴上的椭圆的几何性质，列表比较，图形、性质（范围、对称性、焦点、顶点、离心率）、的关系。椭圆离心率的教学应围绕“如何刻画椭圆的扁平程度”这个问

题进行，用刻画椭圆的扁平程度能更好地揭示椭圆的本质属性。

双曲线的研究是完全类比椭圆的研究方法进行，类比椭圆的概念提出双曲线的问题，学习椭圆后提出问题：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？运用信息技术探索双曲线的几何特征，由此探究抽象得出双曲线概念：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数

（小于）的点的轨迹叫做双曲线。引导学生进一步思考：平面内与两个定点的距离的差等于零的点的轨迹是什么？通过椭圆与双曲线的定义的比较，突出“和与差”“”“等于”“与”。

通过类比椭圆标准方程的研究过程与方法，建立双曲线的方程，教学中要在对比椭圆、双曲线定义的基础上，让学生自主推导双曲线的标准方程，双曲线上的点满足条件的集合是，让学生明白双曲线中的几何意义，以及它与椭圆长轴的区别。类比椭圆标准方程的化简过程，化简得双曲线标

准方程（图2）。同时类比焦点在

轴的椭圆标准方程：得出焦

点在轴上的双曲线标准方程：

，这样，学生加深了对椭圆与双曲线的标准方程的理解掌握。

在探究双曲线的简单几何性质时，类比对椭圆几何性质的研究，得出性质：范围、对称性、顶点，利用信息技术探究得出渐近线，类比椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度，探究双曲线的离心率刻画双曲线的“张口”大小。这样，结合椭圆与双曲线的图形突

出“椭圆”“双曲线，

”，解决了椭圆与双曲线的定义、标准

方程、几何性质的理解掌握。

在探究抛物线的定义时，类比椭圆与双曲线的定义，让学生思考：如果动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，当时，点的轨迹是什么？[椭圆（图1）]；当时，点的轨迹是什么？[双曲线（图2）]，当时，即动点到定点的距离与到定直线的距离相等时，点的轨迹是什么？从而探究得出抛物线（图3）的概念。类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，让学生探究抛物线的标准方程。学生建立坐标系，探究得出（图3），在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系得到不同形式的标准方程，然后学生变式探究抛物线的标准方程的不同形式填表完成四种情形。在探究抛物线的焦点几何性质时，类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，探究得出（图3）的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，其他情形的方程变式可得几何性质。这样有效构建圆锥曲线的定义，标准方程与几何性质的良好知识结构，有利于理解掌握圆锥曲线的知识与方法。

二、类比和变式例题、习题、高考题进行探究，有利于运用圆锥曲线知识与方法解决问题，提升学生的数学核心素养

高中数学教材中的例题、习题蕴含着丰富的知识点、思想方法和解题技巧，有些高考数学题来源于例题、习题的改编，为此，教学中让学生在吃透课本例题与习题的基础上类比例题与习题，引导学生抓住往年典型的高考题目进行研究，探索题目的条件及其内在联系，通过对椭圆的例题与习题的类比，探究解决双曲线与抛物线的例题与习题，通过“条件变式、问题变式、条件与问题变式”等进行探究，运用圆锥曲线知识与方法解决圆锥曲线问题，有利于提升学生的数学核心素养。

1.类比与变式探究解决圆锥曲线的方程、轨迹、离心率问题

问题1：（习题）如果点在运动过程中，总满足关系式，

则点的轨迹是什么曲线？写出它的方程。

启发学生观察等式左边的式子联想到两点距离公式，根据椭圆定义得到椭圆。

条件变式1：（2015海南）已知椭圆C：

（>>0）的离心率为，点（2，）在上，

求的方程。

通过条件变式探究，学生抓住离心率公式、

、、的关系联立方程容易求得结果，体验成功解高考题的乐趣，掌握椭圆标准方程与性质。求椭圆的标准方程，除直接根据定义外，常用待定系数法。

当椭圆的焦点位置不明确时，可设在解题中更简便。

在学习求双曲线、抛物线的标准方程时，类比求椭圆标准方程与离心率的解法，解决双曲线、抛物线的标准方程与离心率问题。

问题2：、为何值时，方程表示下