基于范希尔理论促进学生深度学习

陈文健 魏世琼

1 前言

平行四边形是一类特殊的四边形，它是义务教育阶段“图形与几何”领域重要的学习内容之一，它除了具有一般四边形所有的性质外，还具有一些特有性质，这些性质为解决线段的数量关系和位置关系、角的数量关系等问题提供了新的路径．同时从一般的平行四边形到特殊的平行四边形，研究的思路和流程一脉相承，这利于发展学生自主探究的能力，培养直观想象、符号意识、推理能力等数学素养[1]．因此，本课内容综合了平行线、全等三角形等知识，同时也是后续学习特殊的平行四边形等知识的基础，起着承上启下的作用．范希尔理论被广泛应用于几何教学，对培育学生的几何思维等数学素养具有重要的理论价值和应用价值．笔者基于范希尔理论，以人教版（2012年版）八年级下册第18章第1节“平行四边形的性质”为例，探讨如何进行教学设计，促进学生深度学习．

2 范希尔几何理论的简述

20世纪50年代，范希尔夫妇在荷兰一所中学任教时发现几何教学存在普遍问题，其中最突出的是数学教材中的问题或作业所需要的专业知识往往超出了学生的几何思维水平．后受皮亚杰认知发展阶段理论的影响，他们经过长期研究提出了几何思维水平5阶段理论．其后，欧美学者也开始研究范希尔理论，并扩展了范希尔理论．从20世纪80年代开始，范希尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为几何教学的热点话题[2]．

2.1 范希尔几何思维水平

范希尔将儿童几何思维分为5个水平，分别为：水平0—视觉，处于该水平的学生通过外形来辨别图形，形成视觉表象，不能从图形特征出发分析图形；水平1—分析，处于该水平的学生可以通过度量等方法探索几何对象的性质，但不能描述性质间的联系；水平2—非形式化演绎，处于该水平的学生可以形成抽象的定义并描述性质间的联系，可以用定义和性质作非形式化的论证，但还不理解逻辑演绎是证明结论正确性的必由路径；水平3—形式演绎，处于该水平的学生可以从已知条件出发，采用逻辑推理的方式证明定理，在公理体系中建立定理网络；水平4—严密性，处于该水平的学生能在不同的公理体系下进行数学推理[2]．

2.2 范希尔几何教学阶段

范希尔认为学生几何思维从一个水平过渡到下一个水平的过程离不开教师的教学指导，他们在几何思维五水平的基础上，进一步提出了五个教学阶段，即学前咨询、引导定向、阐明、自由定向、整合，用于指导教师教学[2]．

3 学生掌握平行四边形的性质所需的阶段及教学设计

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，初中阶段图形与几何的教学要注重对图形概念的理解，以及在此基础上对图形性质的理解，培养学生几何直观、逻辑推理等数学素养[3]．学生认识事物需要经歷由近及远、由已知到未知、由浅入深、从一般到特殊的层层递进的过程，范希尔几何理论认为学生的几何思维发展是循序渐进的，该理论为设计逐层渐进的教学活动提供了理论框架．笔者以该理论为指导，以人教版“平行四边形的性质”一节为主题，设计了包括5个阶段的教学活动．

阶段1 直观感知——明确研究对象

应用多媒体展示一组生活中的图片，例如建筑图、风筝、剪纸、人字梯、栅栏、地砖、停车位等，将这些图片的轮廓描绘出来，隐去图片，留下一组数学意义上的四边形．

问题1 你认为图中的四边形有哪几类？你是如何进行分类的？

学生能够根据四边形对边位置关系将四边形分为以下三类：第一类两组对边都不平行的四边形，即一般四边形；第二类是只有一组对边平行的四边形，即梯形；第三类是两组对边都平行的四边形，即平行四边形．

设计意图展示生活中的图片，让学生感受数学与生活的密切联系，拉近学生与研究内容的距离，激起研究兴趣．经历四边形分类的过程可以培养学生几何直观和抽象思维，这符合课标要求，通过分类顺势引出本课的研究对象——平行四边形．

阶段2 类比三角形——明确研究框架及流程

教师带领学生回顾以往学习三角形的研究内容以及每一个研究内容是从哪些角度来开展研究的，学生思考、讨论、作答，教师对学生的回答加以评述并补充完善，共同完成研究三角形的研究框架和流程，如图1．

与生活的密切联系，拉近学生与研究内容的距离，激起研究兴趣．经历四边形分类的过程可以培养学生几何直观和抽象思维，这符合课标要求，通过分类顺势引出本课的研究对象——平行四边形．

阶段2 类比三角形——明确研究框架及流程

教师带领学生回顾以往学习三角形的研究内容以及每一个研究内容是从哪些角度来开展研究的，学生思考、讨论、作答，教师对学生的回答加以评述并补充完善，共同完成研究三角形的研究框架和流程，如图1．

阶段3 明晰概念，实践操作，提出猜想

（教师给每个学生发一个平行四边形纸片，同一个小组的纸片相同，不同小组的纸片不同）

问题3根据刚才的讨论，我们知道研究几何图形需从概念入手，你能给平行四边形下个定义吗？

（结合图3，学生回答，教师整理）①平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②平行四边形的表示方法：平行四边形ABCD表示为一ABCD ; ③平行四边形的组成元素：平行四边形ABCD有四条边（AB.BC，CD，AD ）、四个角（∠A∠B∠C∠D∠），AC，BD是一ABCD的对角线，AC.BD交于一点（部分学生对对角线的认识不够清晰，教师要做好必要的解释和说明）.

设计意图在前两个阶段的基础上，对平行四边形再认识，明晰概念，为后续知识的学习做好铺垫．

问题4 学习平行四边形概念后，接下来我们应该研究什么？从哪些角度来进行研究？

学生回答平行四边形的性质，从边、角、对角线来进行研究．

设计意图通过平行四边形的思维导图，学生自然过渡到下一步的研究内容和研究角度．

问题5 由平行四边形的定义我们可知其两组对边互相平行，除此之外，平行四边形的边、角还具有哪些特点？你能得出哪些猜想？

各小组学生通过平移、度量、剪拼等方式，发现平行四边形的边、角的其他特点，进而提出猜想．

学生回答对角、对边相等，对角线互相平分等．

设计意图提出猜想是进行演绎推理、形成性质的前奏，给学生提供探究材料，引导学生进行自主探究，可以提升锻炼学生的实践能力和操作能力，培养学生的合情推理能力． 阶段4 演绎推理，验证结论问题6 每个小组的平行四边形各不相同，那猜想一定正确吗？你能证明这些猜想吗？ 学生积极讨论，寻找证明思路，找到不同的方法验证猜想的正确性．例如验证对角是否相等，有的学生根据同角的补角相等证明对角相等；有的学生受到剪拼法的启发，连结平行四边形其中一条对角线，运用角边角定理证明两个三角形全等，即ABC AADC或AABD  ACDB，所以么A= Lc ，LB= LD，從而证明对角相等（图4）．验证对角线是否互相平分，学生通过连结两条对角线交于点o，得到四个三角形（AAOB，ABOC，ACOD，4DOA），运用角角边或角边角定理证明AAOB ACOD或ABOC  ADOA，所以OA= oc ， OB=OD ，即对角线互相平分（图5）.

设计意图 证明是探索平行四边形性质的必要步骤，在证明之前让学生体会证明的必要性对学生数学思维的发展是十分重要的，通过合情推理得到的猜想是否正确，必须要经过严格的演绎推理来加以证明．因此设计问题“猜想一定正确吗”，目的是想了解学生是否认识到证明的必要性，这可以加深学生对合情推理和演绎推理关系的理解．提问“你能用演绎推理的方法来证明这些猜想吗”是想让学生经历完整的证明过程．在证明过程中要求学生先独立思考、再小组讨论，鼓励学生从多角度思考、采用多种方法进行证明，一方面渗透了重要数学思想——转化，另一方面培养了逻辑推理能力，同时还有利于发展语言表达能力和团队协作能力． 阶段5 内化知识，体悟思想方法问题7 本节课我们学习了哪些内容？我们从哪些角度对这些内容进行探究？在探究过程中运用了哪些方法？体现了何种数学思想？同学们还有什么问题？ 设计意图教师发挥引学者的作用，鼓励学生踊跃发言，总结本节知识点，并对学生的回答作全面评述，完善知识体系，帮助学生将本节所学的知识点纳入已有的知识结构，建构新的知识体系．体会类比学习法，反思探究学习过程，领悟“转化”思想． 4 小结 学生认识事物的规律通常是由近及远、由已知到未知、由浅到深、从一般到特殊，范希尔理论很好地揭示了学生认识事物的规律，笔者认为该理论对指导教学实践具有重要价值．本文以范希尔理论为指导，设计了包括“直观感知——明确研究对象” “类比三角形——明确研究框架及流程”“明晰概念，实践操作，提出猜想”“演绎推理，验证结论”“内化知识，体悟思想方法”5个阶段的教学活动．基于此，教师在教学时应坚持以学生为本的理念，给学生提供自主探究的空间，加强推理论证的训练和思想方法的渗透，促进学生对知识的深度学习．

参考文献

[1]章建跃．基于数学整体性的“四边形”课程、教材及单元教学设计[J]．数学通报，2020，59（6）：4-9，36

[2]鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程[M]．上海：上海教育出版社，2009

[3]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[S]．北京：北京师范大学版社，2022