例说二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间[m,n]上的最值问题

■王岳军

闭区间上二次函数的最值问题,从数的角度而言,与二次项系数a的正负有关,与的值有关,与的值和m,n的大小关系有关;从形的角度而言,与二次函数的图像的开口方向有关,与图像的对称轴有关,与对称轴和闭区间的位置关系有关。

例1 若函数f(x)=2x2-2ax+3 在[-1,1]上有最小值,记作g(a),求g(a)的表达式。

解:此函数的图像开口向下,对称轴为x=0,下面分三种情况讨论求解。

当a+b=0 时,f(a)=f(b),2a=f(a)=f(b)=2b,此时a的值不存在;

当a+b<0时,f(a)

综上可得,区间[a,b]为[1,3]或

例3 若函数y=log0.5(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围。

解:要使此函数在区间[2,+∞)上有意义,需满足f(x)=x2-ax+3a在区间[2,+∞)上的最小值大于零。由f(x)的最小值f(2)=4-2a+3a=4+a>0,解得a>-4。

结合复合函数的单调性知f(x)=x2-ax+3a在区间[2,+∞)上为增函数,且区间[2,+∞)必在此抛物线的对称轴的右侧,即,解得a≤4。

故实数a的取值范围为-4