方程与不等式，函数和三角函数常见题型例析

■王 浩

■王 浩

题型1:方程与不等式

方程与不等式是高考的常考点,要掌握方程的一些基本性质,如方程对应函数图像的开口方向、对称轴、零点,以及图像的平移等,要掌握一些重要不等式及其成立的条件和相关定理。

例1 已知函数f(x)=x2-(m+2)x+6(m∈R)。(1)解关于x的不等式f(x)≥6-2m。(2)若对任意的x∈[2,4],f(x)+m+1≥0恒成立,求实数m的取值范围。

解:(1)由题意知f(x)=x2-(m+2)·x+6≥6-2m,即x2-(m+2)x+2m=(x-2)(x-m)≥0。

当m<2时,解得x≤m或x≥2;当m=2时,解得x∈R;当m>2 时,解得x≤2 或x≥m。

综上可得,当m<2时,不等式的解集为{x|x≤m或x≥2};当m=2时,不等式的解集为R;当m>2时,不等式的解集为{x|x≤2或x≥m}。

评注:解决方程与不等式问题要掌握一些公式、定理的应用,要学会正面应用相关定理,也要学会逆用定理,还要熟记一些公式的变形应用。

题型2:函数

解答函数问题,要熟练掌握各类函数的图像和相关性质,要学会应用函数与方程的思想处理问题。

例2 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+2),则以下说法错误的是( )。

A.f(0)=0

B.f(x)的一个周期为2

C.f(2023)=1

D.f(3)=f(4)+f(5)

解:由f(x)是R 上的奇函数,可得f(0)=0,A 正确。因为f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B 正确。f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),但f(1)的值不确定,C 错误。因为f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),所以f(3)=f(4)+f(5),D 正确。应选C。

评注:函数问题是一个比较综合的问题,要学会利用函数的图像与性质解决问题。在遇到一些比较麻烦的题目时,要学会运用分类讨论的思想处理问题。

题型3:三角函数

三角函数是高考的一个热门考点,三角函数的图像与性质是学习的重点,同时要熟练掌握三角恒等变换的几种常用方法。

例3 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线对称。

(1)若f(x)的最小正周期为2π,求f(x)的解析式。

解:(1)因为f(x)的最小正周期为2π,所以。因为ω>0,所以ω=1。

评注:解答三角函数问题,一般遵循“先化简再求值”的原则,将函数式化成能够利用题设条件的最简形式,这样有利于问题的解决。

已知不等式ax2+bx+1>0 的解集为,则不等式x2-bx+a≥0的解集为( )。

A.{x|x≤-3或x≥-2}

B.{x|-3≤x≤-2}

C.{x|-2≤x≤3}

D.{x|x≤-2或x≥3}