深化周期理解促进思维生长

■谢晓丰

三角函数的性质是高考的重要考点,周期性作为三角函数的性质之一,有其自身的规律和特点。下面结合不同题型,分析三角函数的周期性问题的求解方法与技巧。

题型1:根据结论求三角函数的周期

题型2:根据周期的定义求三角函数的周期

例2 求下列函数的最小正周期。

点睛:求三角函数的周期常用两种方法,一是定义法,二是图像法。

题型3:函数的周期性与其他性质之间的联系

例3 已知函数f(x)是定义在R 上周期为2 的奇函数,若f(0.5)=1,求f(1),f(3.5)的值。

解:(方法1)由已知可设函数f(x)=sin(πx),所以f(1)=sinπ=0,f(3.5)=

(方法2)因为函数f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数,所以f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),即f(1)=0。

因为f(0.5)=1,所以f(3.5)=f(3.5-4)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1。

点睛:本题以抽象函数为载体,考查函数的周期性与奇偶性。

题型4:根据函数的周期性求参数的范围

点睛:利用三角函数的周期性与单调性的关系,结合已知条件和图像变换规律求出ω的临界值,从而确定ω的取值范围。