四法破解一道高考绝对值不等式问题

■杜海洋

下面以一道含绝对值的高考试题为例进行探究,与大家共同学习与交流。

1.考题再现

(2019年高考浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x。若存在t∈R,使得|f(t+,则实数a的最大值是_____。

2.试题解析

评注:先利用绝对值的性质去掉绝对值符号,再利用非负数的乘积关系求出a的取值范围。解答本题的关键是函数的有界性的应用。

评注:先利用绝对值的性质去掉绝对值符号,再利用函数值域成功进行变量分离,最后结合有界性求得结果。解法2是一种通性通法,即分离变量法的灵活运用。

评注:解法3 是利用不等式成立的条件进行求解的,结果取两个不等式的并集,原因是题设条件为存在实数t。

评注:解法4与解法1类似,重点突出整体代换法的应用。当代数式不易化简且又复杂时,利用整体代换法可大大降低思维的难度,提高解题效率。

3.解题感悟

在考题向多样化发展的趋势下,同学们在掌握基本知识和本质解法的基础上还需适当进行总结。题中涉及函数与不等式的关系,其中函数的值域是本题最终的落脚点,去掉绝对值符号是解题的首要突破点,进一步的重心是怎样解不等式。