例析有趣的高斯函数

■向 东

函数y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数,其中[x]表示不大于x的最大整数,如[1.5]=1,[-2.3]=-3,[3]=3,[5.7]=5。下面就高斯函数的应用进行举例分析,供大家学习与参考。

A.偶函数

B.奇函数

C.奇函数也是偶函数

D.非奇非偶函数

评注:函数的奇偶性是函数的重要性质,且要在函数的定义域内考虑。

例2 不等式4[x]2-12[x]+5≤0 成立的充分不必要条件是( )。

解:因为4[x]2-12[x]+5≤0,所以(2[x]-1)(2[x]-5)≤0,解得。又[x]表示不大于x的最大整数,所以不等式4[x]2-12[x]+5≤0的解为1≤x<3。欲求不等式4[x]2-12[x]+5≤0成立的充分不必要条件,只要求出不等式4[x]2-12[x]+5≤0 解集的一个非空真子集即可,只有[1,2][1,3)成立。应选B。

评注:要分清命题p是q的充分不必要条件与命题p的充分不必要条件是q的区别。

例3 (多选题)以下关于“高斯函数”的命题,其中的真命题是( )。

A.∃x∈R,x=x[]-1

B.∃x∈R,x=x[]+1

C.∀x、y∈R,x[]+y[]≤[x+y]

D.若∃t∈R,使得[t3]=1,[t4]=2,[t5]=3,…,[tn]=n-2同时成立,则正整数n的最大值是5

解:对于A,B,当x∈Z 时,x=[x];当x∉Z时,设k

对于C,由上可知[x]≤x<[x]+1,设x=[x]+{x},则0≤{x}<1。若0≤{x}+{y}<1,则[x+y]=[x]+[y];若1≤{x}+{y}<2,则[x+y]=[x]+[y]+1。综上可得,∀x、y∈R,[x]+[y]≤[x+y],C正确。

对于D,由题意得1≤t3<2,2≤t4<3,3≤t5<4,…,n-2≤tn

评注:解题时,要理解x=[x]+{x}、{x}+{y}的含义,要注意{x}+{y}的取值范围。