多次变形，巧妙放缩———基本不等式的应用

■尤丽华

含有多元变量的代数式的最值(或取值范围)问题,是一种常见的题型,也是高考命题的热点之一。此类问题的形式多样,变化多端,解法灵活多变,较难把握。

一、两步基本不等式的放缩

例1 已知a>0,b>0,则的最小值为____。

分析:利用基本不等式分两步放缩与处理,第一步消去参数a,第二步消去参数b,可得代数式的最值;也可以通过巧妙配凑,利用基本不等式分两步放缩与处理,可得代数式的最值。

评析:分步消参法中,抓住代数式的基本特征,通过两步走,合理消参,从而确定最值;分拆放缩法中,抓住代数式的基本特征,巧妙借助基本不等式进行放缩,从而确定最值。从不同的思维视角入手,都可以实现基本不等式的放缩与代数式最值的求解。

分析:对于含有两个变量的三角函数式,利用基本不等式分两次进行放缩,达到求解最值的目的。

评析:根据三角函数式的结构特征,先消参处理,再齐次化应用,两次利用基本不等式进行放缩处理,最后求得最值。

例3 已知a,b,c是正实数,且b+c=6,则的最小值为____。

分析:通过恒等变形与转化,先利用基本不等式进行合理分拆与消元处理,再结合代数式的配凑与放缩,得到代数式的最值;也可以利用常值代换,结合基本不等式进行放缩,得到代数式的最值。

评析:两次利用基本不等式进行放缩处理,使得问题圆满解决。两种解法,两种思维,有效地提高了发散思维能力。

二、三步基本不等式的放缩

评析:解题时,要注意放缩过程中,不等式的方向的正确判断,以及不等式的基本性质的应用。