一元函数的导数及其应用单元测试卷（B 卷）参考答案与提示

一、单选题

1.B 提示:由题图可知函数f(x)的图像在x=1 处的切线的斜率比在x=3 处的切线的斜率大,且均为正数,所以0＜f'(3)＜f'(1)。连接AB,则割线AB的斜率为,其比在x=1 处的切线的斜率小,但比在x=3 处的切线的斜率大,所以(1),选B。

3.D 提示:因为F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),所以F'(x)=2xf'(x2-4)-2xf'(4-x2),故F'(2)=4f'(0)-4f'(0)=0。

当x趋近于0 时,h(x)趋近于-∞,所以a≤e满足条件。

7.C 提示:f'(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2 处取得极值,知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3。所以f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)= -3x2+6x。令f'(x)=0,得x=0 或x=2。若x∈[-1,1],当-1＜x＜0时,f'(x)＜0;当0＜x＜1时,f'(x)＞0。所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,当x=0时,f(x)取得极小值,也是最小值。当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4。

8.B 提示:当x≤0时,f(x)=x·ex,f'(x)= (x+1)· ex。 可 得f(x)在(- ∞,-1)上单调递减,在(-1,0]上单调递增,且,所以f(x)的大致图像如图1 所示。由f2(x)-(m+1)·f(x)+m=0,解得f(x)=1或f(x)=m。由f(x)的图像可知,当f(x)=1时,有1个根。所以f(x)=m有3 个根,则实数m的取值范围为

图1

二、多选题

9.BC 提示:由题意可知f(x)是R 上的增函数。

对于C,f'(x)=ex＞0 恒 成立,故C 中函数是“H函数”。

对于D,易知f(x)为偶函数,所以它不可能为R 上的增函数,故D 中函数不是“H函数”。

10.ACD 提示:对于 A,f'(x)=,故 A正确。

对于B,f'(x)=e2x·2=2e2x,B错误。

11.ABC 提示:因g(x)是偶函数,故g(-x)=g(x),两边求导得-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是奇函数,g'(0)=0。

由f(x)+g'(x)-10=0,f(x)-g'(4-x)-10=0,得f(x)-10=-g'(x)=g'(4-x)。

故g'(-x)=g'(-x+4),g'(x)是周期函数,且周期为4,g'(0)=g'(4)=0。

g'(2)=g'(2-4)=g'(-2)=-g'(2),所以g'(2)=0。

选项A:f(x)+g'(x)-10=0,令x=2得,f(2)+g'(2)-10=0,所以f(2)=10,A正确。

选项B:f(x)-g'(4-x)-10=0,令x=4得,f(4)-g'(0)-10=0,故f(4)=10,B正确。

选项C:由f(x)+g'(x)-10=0,可得f(4-x)+g'(4-x)-10=0。

又f(x)-g'(4-x)-10=0,所以f(x)+f(4-x)=20。

又g'(x)是奇函数,f(-x)+g'(-x)-10=f(-x)-g'(x)-10=0,所以f(x)+f(-x)=20。

又f(x)+f(4-x)=20,所以f(-x)=f(4-x),即f(x)=f(4+x)。

则f'(x)=f'(4+x),f'(x)-f'(-x)=0,f'(x)=f'(-x),函数f'(x)是周期为4的偶函数。

所以f'(-1)=f'(3)=f'(-3),故C正确。

选项D:f'(2 023)=f'(4×505+3)=f'(3),由题设得不出f'(3)=0,所以f'(2 023)=0不一定成立,故D 错误。

12.ABD 对于A 选项,令f(x)=tanx-x,其中

三、填空题

13.2 提示:对函数求导得到f'(x)=,所以f'(1)=1,f(1)=-1。

曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-1)=f'(1)(x-1),y=x-2。

设切线与两坐标轴的交点为A(2,0),B(0,-2),所以

14.(-e,2) 提示:由题意可得f'(x)=ex+3x2+(a-3),且f'(x)在区间(0,1)上单调递增。要使函数f(x)=ex+x3+(a-3)x+1 在区间(0,1)上有最小值,则

这时存在x0∈(0,1),使得f(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间[x0,1)上单调递增,即函数f(x)在区间(0,1)上有极小值也是最小值,故实数a的取值范围是(-e,2)。

16.①④⑤ (或 ②③④) 提示:若选择条件 ①a=1,b=1 作为已知条件,f(x)=(1+cosx)sinx, 则f'(x)=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1)。

令f'(x)＞0, 解 得;令

因为f(2π-x)=[1+cos (2π-x)]·sin (2π-x)=-(1+cosx)sinx=-f(x),所以f(x)的图像关于点 (π,0) 对称,④正确。

易知f(x)的一个周期是2π, 当x=5π 3时,f(x)取得最小值,⑤正确。

故可选①④⑤。

若选择条件②a=1,b=-1 作为已知,则f(x)= (1-cosx)sinx,

f'(x)=-2cos2x+cosx+1=(2cosx+1)(1-cosx)。

令f'(x)＞0, 解得

令f'(x)＜0, 解得

故可选②③④。

四、解答题

17.(1)若f(t)的图像为一条连续曲线,则log2(2×2+4)+cos(2-2)+17=a·23-22+1,即3+1+17=8a-4+1,解得a=3。

(2)当0≤t＜2时,f(t)=log2(2t+4)+cos (t-2)+17。

f(1)=1,f'(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0。

(2)要证f(x)＜ex+x2-2,即证ex＞lnx+2。

先证明ex＞x+1。令g(x)=ex-x-1,其中x＞0,则g'(x)=ex-1＞0,所以函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,g(x)＞g(0)=0,即ex＞x+1。

接下来证明lnx≤x-1。

令h(x)=x-lnx-1,其中x＞0,则

由h'(x)＜0,可得0＜x＜1;由h'(x)＞0,可得x＞1。

因此,函数h(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+ ∞),h(x)≥h(1)=0,即lnx≤x-1。

因此,ex＞x+1=(x-1)+2≥lnx+2,ex＞lnx+2,原不等式得证。

19.(1)因为f(x)=lnx-mx+2,定义域为(0,+∞),所以

当m≤0时,因为,所以f'(x)＞0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值。

令g(x)=f(x)-(a+2)cosx=aex+2e-x+(a-2)x-(a+2)cosx,则g'(x)=·sinx,且g'(0)=2(a-2)。

若a≥2,则当x∈[0,π]时,g'(x)≥0,函数g(x)在[0,π]上单调递增;

当x∈(π,+ ∞)时,g'(x)≥aex-2e-x+(a-2)-(a+2)＞aeπ-2e-π-4＞,g(x)在(π,+∞)上单调递增。又g(x)在[0,+∞)上连续,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(0)=0,符合题意。

若0＜a＜2,则g'(0)=2(a-2)＜0,g'(x)≥aex-2e-x+(a-2)-(a+2)=aex-2e-x-4。

因此,g(x)在x∈(0,x0)上单调递减,当x∈(0,x0)时,g(x)＜g(0)=0,不符合题意。

综上,实数a的取值范围为[2,+∞)。

22.(1)由题意可知x∈(0,+∞),要使f(x)＜0恒成立,即恒成立。